基于小波变换的内河航道船行波时频特性分析

毛礼磊 陈一梅 李 鑫

(东南大学交通学院, 南京 211189)

内河水运具有运能大、占地少、能耗低等优势，是现代综合运输体系的重要组成部分，也是实现经济社会可持续发展的重要战略资源.随着内河水运需求的增长，船舶大型化、高速化趋势明显，由船舶航行产生的船行波给内河水域环境带来了显著的影响，主要包括：① 对航道岸坡冲刷作用，破坏两侧护岸结构[1-3]；② 改变床底泥沙输运，造成河床冲淤变化[4-6]；③ 增加水体浑浊度，降低透光率，影响水生生物生存[7-9]；④ 影响其他航行或靠泊船只，破坏航道中固定或浮动的水工结构物[10].船行波问题不仅为造船工程师所关注，也成为水利、环境、生态工程中关注的热点问题.

船行波指船舶在水中航行时船体对水体的作用而产生的压力变化所引起的表面波动[11]，其特征不仅取决于船舶本身的参数，如航速、船型、船舶尺度、排水量等，也受到船舶航行环境的影响，如航道尺度、地形、边界条件等.因此，船舶在宽阔无限制水域和受限水域中产生的船行波具有明显不同的特征.在深水中，船行波波态为典型的Kelvin波态，由横波和散波组成，其理论解答可应用线性波理论[11].而在受限水域中，船行波波态则由水动力场和航道地形、边界条件共同决定[12]，会出现一系列非线性波[13-14]，导致船行波及其引起的动力问题呈现出非线性、非平稳状态.通常，船行波波列可以在频率尺度上分解为2个主要组成部分[15]，一是具有长周期的主波，二是具有较短周期的次波.已有的船行波特征研究往往从时域出发，分析船行波的波要素特征.对于船行波频域特性的研究开始于船行波和风浪的区分[16-17]，通过不同的频率分布范围量化2种波的重要程度；还用来分离组成船行波的主波和次波[18-19]，分别分析其动力特征.此外，少数学者也通过傅里叶变换方法来研究船行波在频域上的能量分布[20-21]，分析船行波的频谱特征.然而，传统的分析方法是基于平稳信号假设的基础上进行的，对于非线性和非平稳过程的应用会造成局部瞬态信息的缺失，因此，传统的傅里叶变换对于内河航道中船行波的频域特性分析存在明显的缺陷.

作为傅里叶变换方法的拓展和延伸，小波变换继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，也克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，可用来分析各种不平稳信号[22].小波变换是时间-频率上的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，达到高频处时间细分、低频处频率细分的目的，自动适应时频信号分析的要求，解决了傅里叶变换的困难之处，也被称为“数学显微镜”.因此，本文通过建立室内水槽试验，复演内河航道中船行波的产生和传播过程，采集船舶以不同条件航行时引起的水位波动数据，解析船行波波列结构特征，并基于小波变换理论探究船行波的能量分布特征，为内河航道中船行波频谱特征分析提供新途径.

1 水槽试验

1.1 试验布置

试验在南京水利科学研究院泥沙基本试验厅的水槽中进行，试验水槽尺寸为50 m×4.0 m×0.8 m，水槽两端设有进水和出水口.试验采用自航船模产生船行波，该船模依据限制性航道中500 t级货船代表船型采用1∶20模型比尺进行制作，原型尺寸为46 m×8.7 m，设计吃水2.05 m，船模外形尺寸误差控制在±1 mm之内.船模采用遥控操纵，最大航行速度可达2.50 m/s.

试验段设置于水槽中间，长度为6.0 m，水槽两端为试验船模加速和减速区域.在长三角地区，运河两岸受城镇、堤防等限制，其面宽往往受限，航道整治断面常采用梯形断面.在水槽试验中，试验段采用典型梯形断面，底宽为2.25 m，口宽为3.50 m，斜坡段坡比为1∶3，如图1所示.

图1 试验段横断面布置示意图(单位:m)

水槽试验所采用的主要仪器包括DS30型64通道电容式浪高测量系统和VM-801HA型电磁流速仪，测量仪器和设备在试验前进行标定，能够满足稳定性和灵敏度的要求.试验中使用的测量仪器布设于水槽一侧，波高仪和流速仪沿梯形断面布置情况如下：

1) 试验共布设10个波高测点，10支波高仪分2排布置，每排5支，2排波高仪之间的距离为10 cm，其中波高仪P1设置于梯形断面的斜坡顶角处，距离航道岸坡0.175 m，波高仪P2、P3、P4、P5与P1的水平距离分别为0.100、0.175、0.225和0.300 m.其余5支波高仪(P6、P7、P8、P9和P10)布置位置与P1～P5沿试验段中间位置对称，如图1所示.各波高仪的采样频率为50 Hz.

2) 试验共布设3个流速测点，3支流速仪EM1、EM2和EM3与波高仪P1～P5布置在同一个横断面上，EM1、EM2和EM3与梯形横断面斜坡顶角的距离分别为0.050、0.200和0.325 m，如图1所示.3支流速仪测量靠近河床底部的水流流速，采样频率为20 Hz.

1.2 试验工况

在水深h=0.16 m的条件下开展一系列试验.通过遥控船模自动航行，控制船模的航线和速度，船模自水槽一端开始缓慢加速到一定速度并稳定后，匀速驶入试验段.此时，利用各测量仪器采集数据，同时记录船模通过试验段的时间，用来验证船模遥控系统指示的速度.当船模驶出试验段后逐步减速直至停止.

根据船行波的影响因素，分别设置船模以不同航行速度(Vs)、吃水深度(d)和离岸距离(y)通过试验段，开展船行波观测试验.试验共设置103组工况，船模航行速度范围为0.50～1.10 m/s；根据船模载重条件分为空载和重载2种工况，d分别为0.06和0.10 m；船模按边线和中线2种离岸距离航线，y分别为0.90和1.83 m.采用深度傅汝德数Fh表征船行波波态[20]，上述试验工况中77组船速位于亚临界速度区(0.47≤Fh≤0.74)，26组船速位于跨临界速度区(0.75≤Fh≤0.83).

2 小波变换原理

对于离散时间序列xn来说，其连续小波变换Wn(s)定义为xn与母小波函数ψ0(η)在缩放、平移后的卷积形式[22]，即

(1)

式中，n、n′为时间序列编号；N为时间序列的点个数；η为无量纲时间参数；s为小波尺度；ψ为母小波ψ0无量纲化的结果；*表示复共轭；Δt为时间步长.从本质上来说，小波变换是将函数空间内的函数表示成其在具有不同伸缩因子和平移因子的小波函数之上的投影的叠加.小波变换将一维时域函数映射到二维时间-尺度域上.在小波变换的实际应用中，母小波函数的选取对分析结果至关重要.目前在海浪分析中，Morlet小波应用最为广泛[23]，它是一个由高斯包络调制的复平面波，在时域和频域都具有很好的局部性，其表达式为

(2)

式中，ω0为小波中心圆频率.

根据小波变换的结果，小波变换系数可分解为实部和虚部，或振幅和相位，可定义振幅的平方|Wn(s)|2为小波变换的能量谱.同时，如果沿某一频率尺度切开小波图，在整个时间内进行平均，可得在整个时间范围内的全局小波能谱，即

(3)

全局小波能谱可以给出占优势的周期分量的强度信息.

在本文中，连续小波变换Wn(s)定义为由船舶航行引起的水位波动时间序列与Morlet母小波函数在缩放、平移后的卷积.

3 船行波时频特性分析

3.1 船行波波列结构

为了解析船舶以不同条件航行时产生的船行波波列结构，本节根据水槽试验工况设置情况选取了包含船模空载、重载、边线、中线、亚临界航速和跨临界航速航行条件的8种工况进行分析，8种工况下船模的航行条件如表1所示.8种工况既包含船模空载(工况1、2、3、4)和重载(工况5、6、7、8)的情况，也包含船模沿边线(工况1、2、5、6)和中线(工况3、4、7、8)航行的情况.此外，工况1、3、5、7中船模航行速度位于亚临界速度区，工况2、4、6、8中船模航行速度位于跨临界速度区.

表1 8种工况中船模航行条件

8种工况下船模航行时在P1～P5处产生的水位波动过程线，如图2所示.对于同一种工况，波高仪P1～P5实测水位波动情况存在差别，这主要是因为船行波在向岸传播过程中逐渐衰减.当船模航行通过试验段时，对于8种不同工况下的实测水位过程线，其波动历经相似的过程：小幅的水位上升—历时较长且较大的水位下降—剧烈的水位波动，这分别对应船首波、船行波中的低频主波和船行波中的高频次波.对比工况1与2、3与4、5与6、7与8可知，当船模吃水和航线相同，船模航速位于跨临界速度区时，即航行速度更快时，产生更明显的船首波，对应于水位波动过程线中水位下降前更明显的水位上升.由工况1、2与3、4及工况5、6与7、8对比可知，当船模航线距离岸坡较远时，所测得的水位下降值要小得多，这主要是因为船行波在传播过程中随着距离逐渐衰减.对于船模吃水相同的工况，由工况1与2、3与4、5与6、7与8对比可知，当船模沿相同航线航行时，Fh较大即船模航行速度较快时，水位下降值相差并不大，已有的研究也表明，该最大水位下降值主要与船型及其吃水有关[6].由不同船模吃水的工况对比可知，工况7和8中船模吃水较大，即使船模离岸距离较远，在波高测点处引起的最大水位下降值仍然较大.

(a) 工况1

(d) 工况4

(g) 工况7

根据船行波主波和次波的不同频率f分布范围，可对实测水位波动时间序列进行分离.对于上述8种工况，由实测水位波动时间序列判定出船行波主波和次波的周期，确定出主波和次波的频率分布范围分别为f<0.35 Hz和0.35 Hz

(a) 工况1

(b) 工况2

(c) 工况3

(e) 工况5

(g) 工况7

3.2 船行波频谱特征

以上述8种工况中P5实测水位波动时间序列为例，采用式(1)、(2)和(3)进行连续小波变换后得到各自的小波能谱和全局小波能谱，进而分析船行波的频谱特征.在利用小波能谱图对船行波频谱特征进行分析时，主要指标包括波浪能量峰值及其出现的时间和频率位置.图4所示为8种工况下船行波小波能谱图及其对应的全局小波能谱图.从船行波小波能谱图来看，8种工况下船行波小波能谱呈现局部突出的特点：在时间尺度上，船行波能量主要集中在水位下降段，即船行波主波段，工况1和2主要分布在5～15 s时间段内，工况3和4主要分布在10～20 s时间段内，工况5、6、7、8主要分布在5～20 s时间段内；在频率尺度上，船行波能量主要集中在低频段，工况1～8均主要分布在0～0.35 Hz范围内.从全局小波能谱来看，上述8种工况下船行波全局小波能谱峰值(m2)及其对应的频率值(Hz)分别为：1.897×10-3和0.146、3.783×10-3和0.195、1.982×10-3和0.073、1.565×10-3和0.073、5.636×10-3和0.098、9.874×10-3和0.098、6.216×10-3和0.073、6.349×10-3和0.098.可见，对于上述8种工况，船行波全局小波能谱峰值全部出现在频率较小值处.

(a) 工况1航行波小波能谱图

(e) 工况3航行波小波能谱图

(i) 工况5航行波小波能谱图

(m) 工况7航行波小波能谱图

在分析船舶不同航行条件对船行波全局小波能谱的影响时，以船模吃水深度、离岸距离和航速对上述8种工况进行分类.图5所示为8种工况下船行波全局小波能谱对比情况.当船模吃水深度和航线离岸距离相同时，可比较船模航速对船行波全局小波能谱的影响.由工况1与2、5与6、7与8对比可知，当船模航速增大时，产生的船行波全局小波能量峰值更大；而对于工况3和4，当船模航速增大时，产生的船行波全局小波能量峰值并未增大，这是由于工况3和4中全局小波能量均出现了2个峰值，分别为1.982×10-3、1.267×10-3和1.565×10-3、1.399×10-3.当船速从0.876 m/s增加到0.997 m/s时，工况2全局小波能量峰值增大为工况1的1.99倍；当船速从0.836 m/s增加到1.046 m/s时，工况5全局小波能量峰值增大为工况6的1.75倍；当船速从0.886 m/s增加到0.990 m/s时，工况7全局小波能量峰值增大为工况8的1.02倍.对比工况1和5，船模航线相同，工况5中船模吃水深度大于工况1，尽管船模航行速度为0.836 m/s，小于工况1中船模的速度0.876 m/s，此时工况5全局小波能量峰值为工况1的2.97倍；对比工况2与5、工况4与7，结论亦相同，此时工况5全局小波能量峰值为工况2的1.49倍，工

图5 8种工况下船行波全局小波能量对比

况7全局小波能量峰值为工况4的3.97倍.由此可得，当船舶航线相同，在同一测点处船行波全局小波能量峰值受船舶吃水深度影响较大.对比工况1和4，当船模吃水深度相同时，工况4中船模航行离岸距离较大，尽管船模航行速度为0.941 m/s，大于工况1中船模的航行速度0.876 m/s，此时工况1全局小波能量峰值为工况4的1.21倍，说明在同一测点处船行波全局小波能量峰值随离岸距离增大而减小.

4 结论

1) 通过概化的内河航道和通航船舶，建立室内水槽试验，复演了内河航道中船舶以不同条件航行时船行波的产生及传播过程，获得103组实测的水位波动时间序列数据，补充了内河航道船行波试验资料.

2) 从时间尺度上解析了内河航道中船行波波列结构，船行波传播至某处的水位过程线历经相似的过程：小幅的水位上升—历时较长且较大的水位下降—剧烈的水位波动，对应船首波、船行波中的低频主波和船行波中的高频次波.

3) 从频率尺度分析了内河航道中船行波频谱特征，船行波小波能谱呈现局部突出的特点，船行波能量主要集中在水位下降段，即低频主波段，对应的频率范围为0～0.35 Hz.当吃水深度和航线相同，船舶航速更大时，产生的船行波全局小波能量峰值更大；当航线相同时，相比与航速，同一位置处船行波全局小波能量峰值受吃水深度影响较大；当吃水深度和航速相同，同一位置处船行波全局小波能量峰值随离岸距离增大而减小.