一类平方立方非线性耦合系统主共振解析近似解的研究

李 洁

宿迁学院建筑工程学院（223800）

0 引言

式中 α1和 α2不必限制为小参数，（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2系统参数均为无量纲参数。令，

于是方程式（1）变成

大多数非线性微分方程都没有准确解析解的经典的摄动技术如多尺度法[1]、平均法[2]等，通常仅限于小参数非线性方程组的分析，难以适用于强非线性振动系统。

廖世俊提出的同伦分析法通过引入辅助参数和辅助函数来调节和控制级数解的收敛区域和收敛速度[3]。工程技术中的许多非线性问题应用该方法已经成功解决，如求解非线性动力系统极限环[4]、非牛顿流体的磁流体动力学[5]等。李永强等人应用同伦方法研究了单自由度和多自由度系统的立方非线性受迫振动系统主共振问题[6-10]这些成功应用的例子表明,同伦分析方法可以有效地解决许多非线性问题,但该方法在平方和立方非线性耦合系统主共振方面的应用却未见报道。

文章应用同伦分析法研究了如下一单自由度平方立方非线性耦合系统的主共振问题[11]。

式中（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2（下同）。

1 同伦分析法的基本原理

同伦分析法的基本思想[4]是来自于代数拓扑中的连续映射，希望构造一个联接方程式（3）的解u（τ）和一个给定函数 u0（τ）之间的同伦 Φ（τ；q），q[0，1]，使得 Φ（τ；0）=u0（τ），Φ（τ；1）=u（τ）。 首先，需要确定一组基函数，显然，单自由度系统主共振可由

为此解表达式可选为

式中Ak是未知的复函数，Ak是Ak的共轭。令Ω0为频Ω率之初始猜测值，选取

作为 u（τ）的初始猜测值，根据解表达式（5），选取

为辅助线性算子， 其中 λ[ Ce x p（iτ）]=0，C∈R.根据方程（3），定义如下非线性算子[15]。……