高考题怎样改编（七）
——不等式篇

苏 玖

高考题 （2019年全国Ⅱ理科卷第23题）已知函数f（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）.

（1）当a=1时，求不等式f（x）＜0的解集；

（2）当x∈ （-∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围.

点拨 本题是二次不等式与绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，题目难度不大.如果已知不等式解集中整数的个数，求参数的取值范围，于是有改编1.

改编1已知不等式|有三个整数解，求a的取值范围.

点拨 本题先解绝对值不等式，然后再利用数形结合思想确定端点所满足的条件.其实这类绝对值不等式两边平方就转化为一元二次类型不等式，这也是高考重点考查的内容，于是有改编2.

改编2集合｛x∈Z|x2-x-6≤0｝为（ ）

A.｛x|-2≤x≤3｝

B.｛x|-3≤x≤2｝

C.｛-2，-1，0，1，2，3｝

D.｛-3，-2，-1，0，1，2｝

点拨 这类问题常出现在高考卷或模拟卷中，题型常是选择题.因此解一元二次不等式最基本的方法就是因式分解中的十字相乘法.如果将x替换为x2，则又可以有改编3.

改编3不等式x4-3x2+2＞0的解集为________.

点拨 本题是二次不等式中的双二次，将x2作为整体求解二次不等式，然后再开方运算.若将不等式中引入一个参数，再结合集合运算，于是有改编4.

改编4已知集合A=｛x|x2-5x+4≥0｝，B=｛x|x2-2ax-3a2≤0｝，若A∪B=R，则实数a的取值范围为________.

点拨 本题是含有参数的一元二次不等式，利用集合运算判断出集合B的区间端点与集合A的区间端点的关系，再建立关于a的不等式，求出a的取值范围.如果二次不等式的值域为R，于是又有改编5.

改编5已知二次不等式f（x）=ax2+bx+c≥0的解集为R，求的最小值.

点拨 由已知不等式解集为R可以判断a＞0，同时得到判别式小于等于零，利用不等式性质建立不等关系，从而利用减元思想将转化为关于的二次函数，很容易求解.其实可以利用秒杀的方法求解，事实上判断a＞0，而f（1）≥0，故所求式子的最小值为0.

详细解析

●原●题 （1）（-∞，1）；（2）［1，+∞）.

当a=0时，1＜x＜7，有5个整数解，不合适，舍去.

当a＞0时，要使不等式有三个整数解，必有，

●改●编●2x2-x-6≤0等价于（x+2）（x-3）≤0，

所以-2≤x≤3，整数解为-2，-1，0，1，2，3，

故整数解集为｛-2，-1，0，1，2，3｝.故选C.

●改●编●3 因为x4-3x2+2＞0，所以x2＞2或x2＜1，

●改●编●4A=（-∞，1］∪［4，+∞），集合B中的不等式等价于（x+a）（x-3a）≤0，不等式对应两个零点分别为-a和3a，因为A∪B=R，所以-a≤1且3a≥4，或者3a≤1且-a≥4，所以a≤-4或.

●改●编●5 因为a≠0，f（x）=ax2+bx+c≥0的解集为R，

所以a＞0，Δ=b2-4ac≤0，即b2≤4ac，.

Tips：

（1）解一元二次不等式的一般步骤：

①化为标准形式（二次项系数大于0）；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集.

（2）解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论：

① 二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；

② 当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系；

③ 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.

牛刀小试

（2019年江苏卷第21C题）设x∈R，解不等式|x|+|2x-1|＞2.

改编1：设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围.

改编2：（2018年全国Ⅰ文科卷）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围.

改编3：（2017年全国Ⅰ理科卷）已知函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，求a的取值范围.

解题回顾

（1）在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.

（2）绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.