高阶shifted调和数的有限求和

闫庆伦 王照芬 米娟

摘要：在本文中，我们利用部分分式法等方法研究了一组关于Euler型求和的组合恒等式，计算了有关高阶shifted调和数与二项式系数的倒数的乘积的有限求和形式.通过对参数取特殊值，可以得到许多有意义的恒等式.

关键词：调和数;二项式系数;部分分式法

中图分类号：O157文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.003

Finite sums in higher order powers of shifted-harmonic numbers

YAN Qinglun，WANG Zhaofen，MI Juan

（College of Science^ Nanjing University of Posts and Telecommunications. Nanjing 210023. China）

Abstract：In this article，using methods such as the partial fraction method，we study a set of combined identities for an Euler-type summation. We calculate，furthermore，the finite summation form of the product of the high order shifted-harmonic number and the reciprocal of the binomial coefficient. By using special values for the parameters，interesting identities can be obtained.

Keywords：harmonic numbers;binomial coefficient;the partial fraction method

0引言

令、、分别表示实数集、复数集和正整数集.经典调和级数定义如下：

或者，

其中γ是Euler-Mascheroni常数，ψ（z）是Psi（或者Digamma）函数.

广义调和级数的定义为：

在广义调和级数的下标为非整数值的情况下，例如，可以根據Polygamma函数[1]定义广义调和级数，其中Polygamma函数的定义为：

其中ζ（z）是Riemann Zeta函数.在上式中，当m=0时，我们将定义为：

下面是一些关于此类调和级数的具体例子.

其中G=0.915965…是Catalan常数.

本文将讨论高阶shifted调和数与二项式系数倒数乘积的有限项求和，其形式如下：

与这种Euler型无穷级数类似的级数许多学者已研究过，如Sofo[2]得到了下列恒等式：

Sofo[3]还得到了如下经典的Euler求和：

有关高阶调和数的有限求和形式也已经被多次研究.如在2005年，Weideman[4]猜测了如下形式的调和数恒等式：

这个式子曾经被认为是最难证明的，后来由Driver等[6]利用计算机给出了证明.最近，Sofo[6-7]又得到了许多有关Euler型有限项求和的恒等式，如

关于调和数更多的计算与结论，请参考文献[8-10].

下面给出的引理在文中主要定理的证明过程中起着非常重要的作用.

1引理

引理1[8]令r是一个正整数，p∈N，则下列等式成立：

注当p=1时，，其中[x]是不超过实数x的最大整数.

下面，我们将用……