辫子向量代数V（R′，R）

胡红梅

摘要：辫子向量代数是辫子张量范畴中一类非常重要的霍普夫代数.本文通过证明量子向量空间和辫子向量代数作为结合代数是同构的，从而从量子包络代数U（g）表示的角度详细刻画了辫子向量代数定义中的关系式，以及定义中两个重要的R-矩阵R′，R满足的三个等式关系的由来.

关键词：辫子向量代数;R-矩阵;辫子张量范畴

中图分类号：O154.1文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.004

Braided vector algebra V（R′，R）

HU Hongmei

（School of Mathematical Sciences，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu215009，China）

Abstract：Braided vector algebras are an important class of Hopf algebras in braided tensor categories. In this paper，it is shown that braided vector algebras are isomorphic to quantum vector spaces as associative algebras;hence，the algebraic structure of braided vector algebras and three equalities of the pair （R′，R）are recovered from representations of quantized enveloping algebras U（g）.

Keywords：braided vector algebras;R-matrices;braided tensor categories

0引言

量子群理論同数学领域的很多分支、理论物理等都有着密切的联系，一直吸引着很多数学家和物理学家的关注.作为有限维单李代数g的普遍包络代数U（g）的量子化的量子包络代数U（g）是一类非常重要的量子群，且量子包络代数U（g）的拟三角结构使得它的表示范畴不再是简单的张量范畴，而是辫子张量范畴.辫子张量范畴的理论已经被Majid在他一系列文章（[1-3]）中发展得比较完备. Majid将辫子张量范畴中的霍普夫代数称为辫子群.特别地，Majid在文献[4]中建立了辫子张量范畴中著名的双重玻色化理论.粗略来说，在一个拟三角的霍普夫代数的左（右）表示构成的辫子范畴中，从和两个相互对偶的辫子群出发，通过双重玻色化在张量空间上构造出唯一的霍普夫代数，使得两个玻色化产生的霍普夫代数和可以作为子霍普夫代数被嵌入中.由此可见，双重玻色化理论一方面可以构造新量子群，另一方面，从李代数的Cartan数据出发，Majid构造了一个霍普夫代数H，然后将量子包络代数的“正（负）”部分看成表……