多复变整函数涉及全导数的Picard型定理

周胜瑶 杨刘

摘要：本文中，我们利用多复变对数导数引理将Milloux不等式推广至关于整函数全导数的微分多项式.作为应用，我们证明了两个多复变Picard型定理：设f是上的一个整函数，a，b是两个判别复数且b≠0，（1）如果f≠a，f关于全导数的微分多项式，则f是常函数;（2）如果，且，则f是常函数，其中Df是f的k阶全导数.

关键词：整函数;多复变;全导数;微分多项式

中图分类号：O174.5文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.005

Picard-type theorems for entire functions of several complex variables with total derivatives

ZHOU Shengyao，YANG Liu

（School of Mathematics and Physics^ Anhui University of Technology，Maanshan Anhui 243032，China）

Abstract：In this paper，we use the logarithmic derivative lemma for several complex variables to extend the Milloux inequality to differential polynomials of entire functions. As an application，we subsequently apply the concept to two Picard-type theorems：（1）Let f be an entire function in  and a，b（≠0）be two distinct complex numbers. If f≠a，，then f is constant. （2）If  and ，then f is constant，where Df is the k-th total derivative of f and  is a differentialpolynomial of f with respect to the total derivative.

Keywords：entire function;several complex variables;total derivative;differential polynomial

0簡介及主要结果

著名的Picard定理说明，复平面上不取三个值的亚纯函数必为常函数.我们把有关亚纯函数蜕化为常函数的定理称为Picard型定理.例如，由Milloux不等式可以得到整函数涉及导数的Picard型定理.

定理A设f是上的一个整函数，k是一个正整数.若f≠0，f≠1，则f是常函数.

Hayman在文献[1]中将定理A进一步推广到亚纯函数.

定理B设f是上的一个亚纯函数，k是一个正整数.若f≠0，f≠1，则f是常函数.

在文献[1]中，Hayman还得到涉及导数的另一种形式的Picard型定理.

定理C设f是上的一个整函数，k>1是一个正整数.若ff′≠1，则f是常函数.

在文献[1]和文献[2]中，Hayman猜想：定理C在k≥1时均成立.1967年Clunie在文献[3]中证明了这个猜想成立.这些结果引起国内外学者对涉及导数的亚纯函数值分布理论的关注和研究.另一方面，一个很自然的问题是：如何将上述涉及导数的Picard型定理推广至多复变情形.为此，2003年金路在文献[4]中引入多复变上全导数的概念，并将定理A和定理C推广至多复变整函数情形.

定义1设f是上的一个整函数，f的全导数是

其中是f关于z的偏导数（j=1，2，…，n）.设k是一个正整数，归纳地定义f的k阶全导……