二阶离散周期边值问题的Ambrosetti-Prodi结果

王瑞 路艳琼 杨晓梅

摘要：本文讨论了二阶离散周期边值问题

解的个数与参数s的关系，其中是连续函数，f≥0是常数，T≥2是一个整数，.本文运用上下解方法及拓扑度理论获得了存在常数，当s与s位置关系变化时该问题没有解、至少有一个解、至少有两个解的结果.

关键词：Ambrosetti-Piodi問题;上下解方法;拓扑度理论

中图分类号：O175.8文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.006

Ambrosetti-Prodi results for second-order discrete periodic boundary value problems

WANG Rui，LU Yanqiong，YANG Xiaomei

（College of Mathematics and Statistics^ Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：This paper explores the relationship between the number of solutions and the parameter s of second-order discrete periodic boundary value problems of the form

where  is a continuous function，f≥0 is a constant，T≥2 is an integer，and s is a real number. By using the upper and lower solution method and the theory of topological degree，we obtain the Ambrosetti-Prodi type alternatives which demonstrate the existence of either zero，one. or two solutions depending on the choice of the parameter s with fixed constant s∈R.

Keywords：Ambrosetti-Prodi problem;upper and lower solution method;topological degree theory

0引言

Ambrosetti-Prodi问题是微分方程中的经典问题之一，该问题由Ambrosetti和Prodi[1]在1972年研究Dirichlet问题

解的个数时提出，其中g是一个严格凸的C函数且

λ<λ是Dirichlet问题（0.1）对应的特征值问题在Ω上的主特征值和第二个特征值.他们证明了存在一个C流形M将空间分为O和O两部分，使得

（i）如果h∈O，则（0.1）无解;

（ii）如果h∈M，则（0.1）恰有一个解;

（iii）如果h∈O，则（0.1）恰有两个解.

此后这类问题受到许多学者的关注并对此进行了大量研究.特别地，1986年Fabry、Mawhin和Nkashama[2]讨论了二阶连续周期边值问题

其中g是连续的T周期函数且对t一致满足

并得到结论：存在，使得问题（0.2）在s<s时无解;在s=s时至少有一个解;在s>s时至少有两个解.这一结果被称为A.P.结果[2].众多学者在强制性条件（0.3）下获得了不同边值问题的A.P.结果，参见文献[3-5]等.值得注意的是，2019年Feltrin、Sovrano和Zanolin[6]运用上下解方法和拓扑度理论减弱了二阶连续周期边值问题

存在A.P.结果时非线性项对t的一致性条件（0.3）.

差分方程在物理学、经济学、生态学和传染病动力学等自然科学、工程技术中有着广泛的应用，如文献[7-9]中建立的差分方程普遍描述了系统随离散时间变化的规律性.因此，对差分方程的研究引起了众……