关于超椭圆纤维化的奇异性指数

郭志明

摘要：为了研究超椭圆纤维化，肖刚引入了一系列奇异性指数.然而第二个奇异性指数的非负性仍是不确定的问题.本文得到了局部情况下一组使第二个奇异性指数随着亏格增大趋近负无穷的例子.此外，通过分析分歧轨迹，得到了指定亏格时奇异性指数的一个下界估计.由此证明了g=2，3，4时纤维化第二个奇异性指数的非负性.

关键词：代数曲面;超椭圆纤维化;奇异性指数

中图分类号：O187.1文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.007

Singularity indices of hyperelliptic fibrations

GUO Zhiming

（School of Mathematical Sciences，Soochow University，Suzhou Jiangsu 215006，China）

Abstract：Xiao introduced a series of singularity indices to survey hyperelliptic fibrations. However，it remains unknown whether the second singularity index，s，is non-negative. In this paper，I demonstrate a series of examples of degeneration of curves where s tends to -∞as the genus g grows. Moreover，I obtain a lower bound for sfor a given genus g，thereby confirming that the index s of fibrations for genus g=2，3，4 is non-negative.

Keywords：algebraic surfaces;hyperelliptic fibrations;singularity indices

0引言

本文中，除了特别指出的情形外，我们所说的曲面都是指定义在复数域C上的代数曲面.曲面S在B上的一亏格为g的纤维化是指一个纤维连通的满态射f：S→B.从历史上看，纤维化的研究起源于Kodaira对紧复曲面的系统性研究，这也成为代数几何中很多其他研究方向的开端.

为研究椭圆纤维化，Kodaira首先完成了奇异纤维（实际也是纤维芽）的分类与构造[1].在这种情况下，这个分类本质上是由奇异纤维的拓扑单值以及模点完全决定.

受Kodaira关于椭圆纤维化研究的启发，人们尝试着将类似的方法推广到高亏格纤维化上.然而此时遇到了种种椭圆纤维化时不曾遇到的困难：

（i）随着亏格增大，奇异纤维的种类会变得极多.

（ii）奇异纤维的类型不能完全决定奇异纤维的芽[2].

（iii）即使奇异纤维的拓扑单值以及模点一致，也不能说明奇异纤维的芽同构[3].

为此，Namikawa和Ueno[2]在拓扑单值以及模点以外引入了“次数”这一某种意义上估计模映射的量，完成了g=2奇异纤维的分类.但……