三维Laplace 方程柯西问题具有Dirichlet 核的软化正则解

何尚琴， 冯秀芳

（1.北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川750021； 2.宁夏大学 数学统计学院，宁夏 银川750021）

数学物理反问题研究已成为应用数学中发展和成长最快的领域之一［1］.关于反问题理论和方法的研究最早可追朔到20 世纪20 年代Hadamard 在研究线性偏微分方程的Cauchy 问题对反问题不适定性的陈述和研究［2］.反问题一般有2 种形式，最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题［1］.许多反问题很难解决，有些反问题却很容易得到答案.显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，那些很难被解决的问题则被称为不适定的［1］.一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单的还是复杂的，改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题.另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题.在严格的数学意义上，通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答.然而，通过使用先验知识，通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案［3］.

求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解，这种方法称为正则化方法［4］.如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容.通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其他的一些改进方法，这些方法都……