基于椅子铺砌方法的织物组织设计

金 耀， 蔡腾皓， 李彩曼， 胡雅丽， 鲁佳亮， 王 怡

(1. 浙江理工大学 信息学院， 浙江 杭州 310018； 2. 浙江理工大学 浙江省服装工程技术研究中心， 浙江 杭州 310018；3. 浙江理工大学 信息化办公室， 浙江 杭州 310018； 4. 浙江理工大学 纺织科学与工程学院(国际丝绸学院)，浙江 杭州 310018； 5. 浙大城市学院 创意与艺术设计学院， 浙江 杭州 310015)

铺砌(tiling)是一种综合了几何学、组合学、群伦、拓扑、图论等多个数学分支，研究形状如何无重叠无空隙覆盖平面的方法1]。同时，铺砌又是一种古老的艺术形式，被广泛应用于建筑、装饰与艺术设计等领域，如中世纪伊斯兰建筑设计特别青睐铺砌图案[2]。铺砌图案因其种类多样且具有特殊的对称性与美学价值，引起了不少学者的研究兴趣。近年来，不乏学者借助计算机图形技术，研究生成不同类型的铺砌艺术图案的方法：如基于动力系统理论生成混沌铺砌图案[3]，结合分形理论生成分形铺砌图案[4]，从图像中提取并重构铺砌结构[5]等。铺砌艺术应用广泛，但其在纺织领域应用的研究较少(虽有研究者提出将铺砌应用于纺织品设计的构想[6-7]，但未曾实践)，而运用铺砌方法进行织物组织设计的研究更为罕见。

织物组织设计是纺织品设计的重要组成部分。借助计算机强大的运算能力，众多研究者针对织物组织尝试建立不同的数学模型并采用数字化设计手段，以提高织物组织设计的效率、丰富织物组织的变化形式。施国生等[8]运用对称性原理设计织物组织，使组织具有对称美感，但其整体对称性的变化形式单调。赵良臣等[9]提出运用旋转对称性数学原理设计织物组织，使组织具有绉效应的美感。还有将图像变换的思想运用于织物组织设计，得到具有不同变换特征的新组织[10]。这些方法均存在变化形式不够丰富, 组织设计空间较小的问题。张聿等[11]将分形理论中L系统应用于织物组织设计，所设计的分形组织相较于传统组织具有自相似性、层次嵌套的复杂结构。针对L系统设计方法的局限性，文献[12]提出了不受基础组织形式限制的IFS方法，扩大了设计空间。在此基础上，张聿课题组研究了分形组织的多个变种，从不同层面探讨分形组织的变化形式，设计出不同风格的织物组织，如各层基础组织互异的分形组织[13]，同层仿射分形织物[14]，基于斜纹基本组织的回纹分形组织[15]等。最近，熊宇龙等[16]又提出了设计更为灵活的扩展分形组织模型，能够涵盖上述分形织物组织模型。

采用分形织物组织方法通过构造空间布局形成新组织,扩大了组织的设计空间。类似分形织物组织，本文从空间布局的角度设计织物组织,借助椅子铺砌(chair tilings)这种具有方形结构的特殊铺砌构图，提出一种新型织物组织的设计方法。受益于椅子铺砌的特点，该方法所设计的织物组织既具有分形组织的自相似性与层次嵌套的结构，又具有非周期以及多种形式的对称性,能够设计出一些特殊的新型织物组织，丰富了织物组织的设计手段与变化形式。

1 铺砌的生成原理

1.1 铺砌的定义

铺砌是由数个铺砌块(tile)构成的集合,且满足如下条件：1)每个铺砌块为闭集；2)铺砌块的并集铺满欧式平面；3)任何2个铺砌块的内部彼此无交集。该定义即表明铺砌集合能够无空隙且不重叠地覆盖平面[1]。

铺砌的一个显著特点是对称性,且其对称性可呈现出各种不同的排列规则。根据铺砌块的布局是否具有周期性，铺砌可分为周期铺砌与非周期铺砌两类[1](如图1所示)。由图可看出周期铺砌呈现整体对称性，较为规则；而非周期铺砌具有局部对称性，既具有规则性又具有随机性。

图1 周期与非周期铺砌图例Fig.1 Examples of periodic (a) and aperiodic (b) tilings

1.2 椅子铺砌及生成原理

椅子铺砌是一种只由一种铺砌块生成的非周期铺砌，因其铺砌块形如“椅子”而得名。椅子铺砌的铺砌块可看作3个正方形构成的凹形六边形。其铺砌块及铺砌结构见图2。由图可见，对铺砌块进行各种层次化几何变换，可得到复杂的铺砌结构。

图2 椅子铺砌的铺砌块及铺砌结构Fig.2 Tiles (a) and tling structure (b) of chair tilings

为生成椅子铺砌结构，本文采用基于扩充—再分过程的替换法并利用四叉树构建chair铺砌的层次结构[3,6]。具体过程为：对于当前四叉树已生成的叶子节点，将其节点所在的铺砌块等比放大2倍，设置该节点的4个子节点的仿射变换，将该区域分割成4个与该铺砌块全等的区域，设置4个子区域的方向，使其右上角和左下角的铺砌块方向保持不变，左上角的铺砌块为原铺砌块顺时针旋转90°形成，而右下角的铺砌块为原铺砌块逆时针旋转90°形成。运用上述方法构建一棵完全四叉树，其叶子节点所在层即为该层级的椅子铺砌结构。

2 椅子铺砌织物组织设计

椅子铺砌的结构具有类似分形的自相似性与层次嵌套性。所不同的是其铺砌块的分布满足一定规则的局部对称性，如平移对称、旋转对称、镜面对称等并以相互嵌套的形式铺满平面，表现出乱中有序的规律。同时，椅子铺砌具有方块形状的天然特点，其结构适用于织物组织设计，所设计的组织称为椅子铺砌组织。

2.1 椅子铺砌组织的设计方法

椅子铺砌组织设计方法利用椅子铺砌的空间布局结构构造新组织。类似于分形组织采用“组织替换组织点”的思想。本文首先运用椅子铺砌方法生成织物组织的空间结构，然后以铺砌块为单位的组织单元(称为“铺砌块组织”)按照一定规则对空间结构进行“铺砌”，从而形成椅子铺砌组织。具体讲，椅子铺砌组织的设计方法如下。

1)构造铺砌结构：根据1.2节所描述的椅子铺砌生成原理，构造给定层次数的铺砌结构，其中空缺的右上角结构默认由铺砌的左下角结构复制得到。由此形成的铺砌结构见图3(a)。

图3 椅子铺砌组织的生成过程Fig.3 Procedure of generating chair-tiling weaves.(a) Tiling structure; (b) Tile weave; (c) Tiling weave

2)设计铺砌块组织：确定组织循环数，并在铺砌块中设计铺砌块组织，见图3(b)。

3)生成铺砌组织：将铺砌块组织运用椅子铺砌的对称变换规则替换原铺砌块，生成最终的铺砌组织。由图3(a)与(b)生成的铺砌组织见图3(c)。

2.2 椅子铺砌组织的变化形式

本文所提出的椅子铺砌组织设计方法可从多个不同角度对织物组织进行变化创新，以增加组织设计的自由度，扩大组织设计的空间。具体讲，主要的变化形式有如下几种。

1)铺砌层次数n的变化。即改变椅子铺砌的层次数。不同的层次数将形成不同的铺砌结构。随着层次数的增加，其结构也将变得越为复杂。

2)铺砌结构S的变化。铺砌结构可通过改变铺砌(见图2(b))的右上角结构进行变化。其右上角的结构可采用不同的结构进行嵌套，如可对铺砌的左下角结构通过施加不同的旋转变换{R90°,R180°,R270°}得到不同的整体铺砌结构。将3种不同旋转对应的变换1、变换2与变换3分别施加于图2(b)，可获得图4所示结果。

图4 不同变换下得到的右上角铺砌结构Fig.4 Tiling structures of upper right corner under different transformations. (a) Transformation 1; (b) Transformation 2; (c) Transformation 3

3)铺砌块组织W的变化。设置不同铺砌块组织将带来风格迥异的椅子铺砌组织结构，也是实现椅子铺砌组织变化的主要手段。用户既可将整个铺砌块作为整体并直接在其内部设计组织，亦可只输入1个组织循环以及1个同循环数的置换群组织，并利用该组织循环在该群作用下得到的轨道组织[17]进行排列组合变化出多个组织生成铺砌块组织。

3 仿真实验与讨论

本文运用C++语言实现上述椅子铺砌组织设计方法并对生成织物组织图进行可视化仿真。

3.1 不同铺砌层次数的织物组织

本文尝试对同一种铺砌块组织，采用不同的铺砌层次数生成椅子铺砌组织。图5示出层次数n分别为2,3,4时得到的椅子铺砌组织。可见，当层次数较小时，所生成的组织相对简单；而当层次数增加时，生成的组织逐渐变得复杂，并且形成具有小花型的外观效果。

图5 不同铺砌层次数得到的椅子铺砌组织Fig.5 Chair-tiling weaves with different tiling layers

3.2 不同铺砌结构的织物组织

本文通过对椅子铺砌的右上角结构进行变化，得到不同的椅子铺砌结构，形成不同的椅子铺砌组织。图6示出采用不同铺砌结构设计的铺砌组织(n=3)，即椅子铺砌右上角结构未经变化以及分别对左下角结构施加变换1(90°旋转)、变换2(180°旋转)、变换3(270°旋转)变换得到的织物组织图。由图可见，局部铺砌结构的变化引起了整体组织外观效果的变化；当旋转角度为180°时，所设计的织物组织呈现出中心对称的效果，而当旋转角度为其他值时，则出现乱而有序的非周期对称外观效果。

图6 采用不同铺砌结构设计的铺砌组织(n=3)Fig.6 Chair-tiling weaves with different tiling structures.(a) Without transformation; (b) Transformation 1;(c) Transformation 2; (d) Transformation 3

3.3 不同铺砌块组织的织物组织

通过设计不同的铺砌块组织还可获得更多的椅子铺砌组织。图7示出采用铺砌块组织设计的铺砌组织(n=3)。由图可见，不同的铺砌块组织所生成的椅子铺砌组织外观效果差异较大，风格也不同。特别地，当铺砌块组织本身具有对称性时，所生成的铺砌组织将呈现具有整体对称性的规则花型效果,如图7(a)、(b)所示。

图7 采用不同铺砌块组织设计的铺砌组织(n=3)Fig.7 Chair-tiling weaves with different tiling structures.(a) Tiling weave 1; (b) Tiling weave 2; (c) Tiling weave 3

为控制所生成织物组织的组织点分布，利用椅子铺砌组织铺砌块相互咬合嵌套的特点，可从如下几方面设计具有一定特点的铺砌块组织：欲生成带有大块组织点的织物组织，可在铺砌块的角点处设计大块组织点，使其在角点处拼接时形成更大的组织点；欲生成具有回纹外观的织物组织，可参考回纹分形组织设计方法[15]，设计斜纹状的铺砌组织，等等。图8示出采用特殊铺砌块组织设计的铺砌组织(n=3)。由图可见，上述方法生成的椅子铺砌组织可分别呈现大块组织点与回形结构，符合预期。

图8 采用特殊铺砌块组织设计的铺砌组织(n=3)Fig.8 Chair-tiling weaves with special tiling structures.(a) Weave with large weave points; (b) Fret weave

4 结束语

本文将铺砌的思想引入织物组织设计，从组织空间布局的角度，提出了一种基于椅子铺砌的织物组织设计方法。该方法通过构造铺砌结构、设计铺砌块组织与生成铺砌组织3个步骤实现组织设计。可通过改变铺砌层次数、铺砌结构类型以及铺砌块组织等实现椅子铺砌组织的变化，扩大了设计空间，获得丰富的新型织物组织。由该方法所生成的织物组织不仅具有自相似性、层次嵌套等分形织物组织的特点，而且因其具有椅子铺砌结构，使其呈现出乱中有序的非周期对称性特点,组织结构复杂，具有一定的防伪功能。

椅子铺砌仅是众多铺砌结构的一种，不同的铺砌规律将开拓出不同的织物组织设计空间。如何引入更多类型的铺砌结构进行织物组织设计可成为未来研发新产品的一个方向。