多元凸函数连续性的2 种证明

唐建国，叶桂余

（惠州学院 数学与统计学院，广东 惠州 516007）

一元函数的凸性是研究函数曲线形状的重要工具.数学分析教材给出了一元凸函数不带连续条件的定义、一些等价条件和凸函数的判定方法，但对于凸函数的连续性问题，现行教材在定义和性质中均未涉及[1-2].部分学者研究一元凸函数的连续性问题，如：证明了一元凸函数的有界性和连续性[3-5]；探讨了闭区间上凸函数在区间端点的连续性问题[6]；给出一元凸函数的一个与上半连续性相结合的等价定义[7]；讨论了一元凸函数的连续性和有界性，定义了扩充单调的概念，以此为基础给出了开区间内和闭区间内凸函数的扩充单调性质[8]；从一元凸函数的定义出发，讨论了凸函数与连续的关系[9]；分析比较了一元凸函数的弦线法定义和切线法定义，给出了一元凸函数的折线法定义，讨论了凸函数的连续性等分析性质[10]；证明了一元凸函数概念的一些等价形式，归纳了凸函数的连续性及可微性结论，得到了规划论中有用的极值命题[11].

随着凸函数在线性规划等领域的应用越来越广泛，学者们开始研究多元凸函数的连续性问题.如：研究了三元凸函数的连续性问题，给出了三元凸函数连续性的证明，在证明区域内一点连续时假定了该点的函数值为零[12]；给出了开凸集上凸函数连续性的一个简单证法，所采用的思想与文献[12]接近[13]；利用卡氏积和集合的方法证明了n维欧氏空间上的有限凸函数必是连续函数[14].