抛物线两点弦方程在高考中的应用

吴志峰

直线与抛物线的综合问题是高考中的常见题型，在选择题、填空题、解答题中都是命题的热点. 它的一般解法是联立直线与抛物线的方程，借助于一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解. 对于过抛物线上两点的直线方程问题，如果能够借助抛物线的方程特点，借助抛物线的两点弦的方程进行求解，往往能够达到事半功倍的效果，大大减少运算量，下面通过对2021年高考中的一个道抛物线综合试题，来谈谈抛物线的两点弦的方程在解题中的应用.

一、试题呈现

【2021年高考全国数学甲卷理数21题】抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l ∶ x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ. 已知点M（2，0），且⊙M与l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）设A1， A2，A3是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与⊙M相切. 判断直线A2 A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

二、试题分析

本题问题设计的梯度明显，第（1）求抛物线方程和圆的方程，属基础题;第（2）问探究直线与圆的位置关系，设问方式具有开放性，难度较大，考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的综合应用，考查考生数学学科核心素养和关键能力，突出试题的选拔功能. 考查的数学思想方法有函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化的思想，涉及的数学核心素养有直观想象，数学运算，逻辑推理. 在解题方法上，第（2）问几何元素较多，有三条直线、一个圆、一条抛线，变量也比较多，如果设常规的直线方程进行计算，解析化后的变量转化难度大，运算量大;如果设抛物线的两点……