基于Henstock积分在区间子列上的可和性研究*

李 伟

(集美大学理学院, 福建 厦门 361021)

20世纪初，在测度理论[1]基础上建立的Lebesgue积分[2](简称L-积分)，是经典积分理论的突破，它为现代实函数论的研究奠定了基础[3]．但是，由于L-积分是绝对型的，即“f∈L⟺|f|>∈L”,使得L-可积范围受到了限制，例如，广义黎曼可积不一定是L-可积，由此可见，L-积分还存在一定的局限性．1912年，Denjoy从函数的可微性和ACG*性质出发，定义了Denjoy积分[4](简称D-积分)，1914年，Perron定义了Perron积分[4](简称P-积分)．1921年，人们证明了D-积分与P-积分其实是等价的，并证明了它们是Riemann积分[5](简称R-积分)的全部推广，且各自均包容了L-积分．这种积分的本质是非绝对型的，因此，也称之为非绝对型积分[6]．但由于D-积分和P-积分的定义非常繁杂，这样就给积分理论的推广及应用带来了诸多困难．1957年、1958年，J．kurzweil和R．Henstock分别独立地给出了一种完全Riemann型的积分，称之为kurzweil-Henstock积分[7,8]，简称Henstock积分(简记为H-积分)．20世纪80年代初，人们证明了“H=D=P”．由于Henstock积分无需用到繁杂的测度理论，加之又是Riemann型的，因此，它的出现让积分理论充满了生机，使得对有关理论的研究和应用焕然一新[9，10]．

本文就非绝对型Henstock积分理论进行研究．首先阐述δ(x)精细分法及Henstock积分概念，然后引进区间[a,b]上的非绝对型Henstock积分的有限可和性等性质定理，进而在Henstock引理等有关理论基础上，给出Henstock积分在区间子列上的可和性的定理(定理6)，并给予详细证明．

1 定义及其预备知识

定义1[7]区间[a,b]上给出正值函数δ(x)>0，所谓在区间[a,b]上的分法T是δ(x)精细的，是指T的有序分点：a=x0

ξi∈[xi-1,xi]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)), (i=1,2,…,n)．

可以看出所谓[a,b]上的δ(x)精细分法T，是区间[xi-1,xi]与ξi所组成的集偶：

{([xi-1,xi],ξi)，i=1,2,…,n}，

它满足：