混响背景下基于分数阶傅里叶变换的自适应LMS滤波算法

马 凯，王易川，陈 喆，程玉胜

(海军潜艇学院航海观通系，山东青岛 266000)

0 引 言

最小均方误差(Least Mean Square, LMS)算法是由Hoff和Widrow在1960年提出的，它计算量小，并且算法简单容易实现[1-3]，被广泛用于信号处理的各个方面。此外，LMS算法还可用于处理非平稳信号[4]，这是因为它不需要预知信号和噪声的自相关函数。但在固定步长的 LMS算法中，收敛速度和稳态误差是一对矛盾：收敛速度越快，稳态误差越大。针对此问题，提出了各种变步长 LMS算法[5-11]，这些算法在迭代初始阶段，为获取较快的收敛速度，采用较大步长；当算法收敛后，为获得较小的稳态误差，采用较小的步长因子。

变步长 LMS算法的出现，解决了收敛速度和稳态误差之间的矛盾，但在信混比较低的情况下，性能较差，尤其随着现代主动声呐向低频、大功率的方向发展，混响对主动声呐性能的影响日趋凸显，如何提高算法在低信混比下的性能显得尤为重要。利用时域和频域结合的处理方法，包括小波变换、分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)[12-16]、自适应滤波及Wigner分布可以较好地滤除混响。基于此，本文提出一种基于分数阶傅里叶变换的自适应LMS滤波算法。

1 分数阶傅里叶变换

如果将信号的傅里叶变换看作是将信号沿逆时针方向旋转π/2，由t轴变为ω轴，则FRFT可以看作是时间轴t逆时针旋转α角后信号的时频分布在u轴上的投影，其定义式为

2 变步长LMS算法

LMS算法的计算公式为

其中：x(n)为输入信号；W(n)为自适应滤波器的权系数；d(n)为参考信号；e(n)为误差，µ为算法的迭代步长。……