关于小变形假设的几何与数学分析1)

李文娟 冯维明 王少伟

(山东大学土建与水利学院，济南250061)

小变形概念是材料力学中非常重要的概念之一，涉及到几何近似。材料力学中的众多定义和演绎都是在小变形假设前提下完成的[1-3]。而利用小变形的概念建立变形几何关系(或称变形协调方程)是求解超静定结构的关键所在，且引起许多高校任课教师的关注。常学平等[4]基于小变形假设对某超静定结构采用不同的几何分析来建立变形协调方程，并做了有益的比较。邓宗白等[5]对不同的几何分析中带来的误差进行了详细分析，表明小变形假设的合理应用所产生的误差是可以接受的。周道祥[6]和熊慧而等[7]提供了利用小变形假设对较为复杂的超静定结构建立变形协调方程的方法。但鲜有文章考虑小变形假设的实质，如认识不清，有可能从看似合理的变形分析得出错误的结果，本文正是通过超静定结构建立变形协调方程的过程中产生的误区，分析了小变形概念的本质，即对高阶无穷小量的理解，指出了在变形分析中应用小变形假设的条件。

1 问题的提出

在材料力学绪论中，小变形假设是这样叙述的：“假设实际构件的变形以及由变形引起的位移与构件的原始尺寸相比甚为微小。这样，在研究构件的平衡和运动时，仍可按构件的原始尺寸进行计算”[3]。在研究拉压超静定问题中，许多教材都会讲到这个例题。

如图 1(a)所示的三杆桁架为一次超静定问题。设1和2两杆的抗拉刚度为EA，杆3的抗拉刚度为E3A3；α，F和l均为已知，求三杆的轴力。

图1 三杆桁架的受力图和变形图

设杆1，2和3的轴力分别为FN1，FN2和FN3(图1(b))，讨论节点A，由静力平衡方程可得

静力平衡方程不可能将三个未知力全部解出，还需一个补充方程。结构在力F的作用下节点A移动到A1点 (图 1(c))，由于杆 1与杆 2长度和抗拉刚度完全相同，A1点应在CA的延长线上。连接BA1，DA1，线段BA1，DA1是杆1与杆2变形后的位置。以B为原点，BA为半径画弧交BA1于点E，设∠ABE=Δα。由于结构变形为小变形，Δα≪1，可用BA1的垂线段AE来代替圆弧，Δl1，Δl3分别为杆1，杆3的近似变形量。设结构变形后杆1(或杆2)与杆3之间的夹角为α′，而α′=α-Δα≈α，因而有

式(2)两次应用了近似条件：一是“以直代曲”[5]，二是α′≈α。根据物理关系得到补充方程为

联立式(1)和式(3)，可以解得3个杆的内力分别为

从上述解的过程可以看到，建立变形协调条件关系式 (2)是求解超静定问题的关键。下面我们用另外一套几何关系来建立变形协调条件，由图2

如前所述，考虑α′≈α，代入式(4)可得

图2 三杆桁架的变形图

由原始几何关系：l1cosα=l3，代入式 (5)化简后可得

比较式(2)和式(6)，发现这是两个完全不同的变形协调方程，错在哪里？

2 几何分析

现在我们用数学中的几何方法来分析一下式(4)。由图2的几何关系

由式(4)和式(7)可得

式(8)等式两端平方并相加

注意由原始尺寸l1cosα=l3，展开并化简可得

式 (9)即为变形协调方程的精确表达式。略去式中高阶无穷小量 (Δl1)2和 (Δl3)2，再消掉式两端l1，可得

式(10)与式(2)完全一致。另一方面也说明式(4)是正确的。现在判断式(5)出现了问题，难道将α′≈α代入到式 (4)有错吗？答案是肯定的。究竟错在哪里，仅凭式(5)难以说明。我们从式(4)进行分析，由三角形几何关系(图2)可得

将式(11)代入式(4)，得

式中，当 Δα足够小时，cosΔα≈1，sinΔα≈Δα，式(12)变为

由原始几何关系：l1cosα=l3，式(13)简化为

由图 1，弧长为lΔα，其近似垂线段为

1则有

略去式 (14)中的高阶无穷小量 Δl1Δαsinα，并将式(15)代入可得

式(16)两端同乘cosα，则有

式(17)与式(10)及式(2)完全一致。

比较式 (14)和式 (6)，发现式 (6)缺少了(l1+Δl1)Δαsinα项，这不是一个高阶微量，是不能忽略的，说明式(4)到式(5)的近似是不正确的。

式(2)中两次应用了近似条件，现从几何变形上给出一个合理的解释。由图2

或

将α′=α-Δα代入式(18)，则有

展开可得

对于小变形问题，Δα≪1时，cosΔα≈1，sinΔα≈Δα，式(19)简化为

略去式 (20)中高阶无穷小量 Δl1Δαcosα，式 (20)可写成

即在两项近似关系下所得到直角三角形，误差仅为一高阶无穷小量。

3 数学分析

这里我们从更严谨的数学分析来求证上述问题[8]。首先要证明 Δl1与 Δα是同阶无穷小量。图2中，令这是结构发生变形时唯一不变量，建立如下极限式

由洛必达法则

式(23)左端是常数，表明Δl1与Δα是同阶无穷小量。由于α′=α-Δα，当使用近似等式α′≈α时，有可能忽略了同阶小量，这是式(5)的错误所在。下面完全用数学分析中的极限定义建立Δα→0+时Δl1与Δl3的关系。

式(24)求解过程中应用了洛必达法则。由极限的性质，得到精确表达式

其中β为一无穷小量，略去。式 (25)两端同乘以cosα，则有

4 总结

事实上，静力平衡方程 (式 (1))是利用了小变形假设，即α′≈α，因为结构为桁架系统，各杆为直杆，以节点A为研究对象的平衡方程是利用了结构原始几何关系而建立的。而其后的变形几何关系式(2)也用到α′≈α，但不是小变形假设，而是小变形的近似几何关系，笔者认为，近似几何关系就是低阶无穷小量与高阶无穷小量之间的舍取问题 (深入考虑一下，小变形假设归根结底也是此类问题)。很显然，方程(2)是小变形间的几何关系式，α′≈α的近似等式应该慎用。读者可尝试将等式α′=α-Δα代入式(2)中，展开并舍取高阶无穷小项，仍可得到正确的变形协调方程，但对于式 (4)却得到不同结果。为了避免上述错误，首先应理解“小变形假设”与几何小变形近似的不同；其次建立力学问题的精确数学模型，在数学处理过程中合理使用 “小变形近似”。