理想弹性压杆临界挠度的确定

刘荣刚 边文凤 李素超 刘 伟 金松波

*(哈尔滨工业大学土木工程系，山东威海264209)

†(哈尔滨工业大学航天科学与力学系，哈尔滨150001)

压杆稳定是材料力学课程中重要的基本内容[1-2]。尽管人们对压杆稳定的研究与应用已经十分成熟，但是却存在着一个长期争议的问题，就是细长压杆临界力作用下的挠度能否确定的问题[3-7]。有文献认为挠度的不确定源自在推导临界力公式的时候使用的是挠曲线近似微分方程[2-3]，而如果使用精确的挠曲线微分方程[8]就可以确定挠度。但是这一观点受到了诸多质疑[5-7]。小变形假设是材料力学中的基本假设之一，在处理问题的时候具有足够高的精度，并且理论本身也是完备的，因此挠曲线近似微分方程对于小变形情况是完全适用的，那么对问题的解答也应该是完备的。也就是说，不会出现挠度不确定的问题。事实上，出现问题混乱的原因有两条：(1)处理问题的时候边界条件给的不够合理；(2)临界力的定义缺乏数学与力学的严格对应。下面本文分别使用挠曲线近似微分方程方法和能量法给出较为严格的压杆稳定临界力的定义。

1 挠曲线近似微分方程方法

考虑两端铰支细长压杆 (见图 1)，在微弯状态下，挠曲线近似微分方程

其中k2=F/(EI)，EI为压杆的抗弯刚度。微分方程的通解为

图1 两端铰支细长压杆受力示意图

利用杆件两端严格的边界条件

我们可以得到压杆的挠曲线方程为

其中δ是压杆中点的挠度，微弯状态下载荷F与水平位移Δ的关系为