理想弹性压杆临界挠度的确定

刘荣刚 边文凤 李素超 刘 伟 金松波

*(哈尔滨工业大学土木工程系，山东威海264209)

†(哈尔滨工业大学航天科学与力学系，哈尔滨150001)

压杆稳定是材料力学课程中重要的基本内容[1-2]。尽管人们对压杆稳定的研究与应用已经十分成熟，但是却存在着一个长期争议的问题，就是细长压杆临界力作用下的挠度能否确定的问题[3-7]。有文献认为挠度的不确定源自在推导临界力公式的时候使用的是挠曲线近似微分方程[2-3]，而如果使用精确的挠曲线微分方程[8]就可以确定挠度。但是这一观点受到了诸多质疑[5-7]。小变形假设是材料力学中的基本假设之一，在处理问题的时候具有足够高的精度，并且理论本身也是完备的，因此挠曲线近似微分方程对于小变形情况是完全适用的，那么对问题的解答也应该是完备的。也就是说，不会出现挠度不确定的问题。事实上，出现问题混乱的原因有两条：(1)处理问题的时候边界条件给的不够合理；(2)临界力的定义缺乏数学与力学的严格对应。下面本文分别使用挠曲线近似微分方程方法和能量法给出较为严格的压杆稳定临界力的定义。

1 挠曲线近似微分方程方法

考虑两端铰支细长压杆 (见图 1)，在微弯状态下，挠曲线近似微分方程

其中k2=F/(EI)，EI为压杆的抗弯刚度。微分方程的通解为

图1 两端铰支细长压杆受力示意图

利用杆件两端严格的边界条件

我们可以得到压杆的挠曲线方程为

其中δ是压杆中点的挠度，微弯状态下载荷F与水平位移Δ的关系为

式(5)即为小变形条件下，载荷F与水平位移Δ的一般关系式。注意这一状态不是临界状态，对于理想弹性压杆，如果逐渐减小载荷，微弯状态可以完全退回到直线状态，而这一直线状态就是最合理的临界状态，所对应的力就是临界力。所以，临界力的严格定义就是对式(5)取极限，即

此极限过程描写了微弯状态下的压杆回归到直线状态，此状态即为唯一的临界状态，所以临界力作用下压杆中点的挠度是完全确定的，也即等于0。

2 能量法

在小变形情况下，压杆的挠曲线满足式(4)，利用能量关系

可求出

另一方面，利用几何关系

我们可以得到

其中

所以临界力定义为

显然，能量法给出的结果式(10)与采用挠曲线近似微分方程方法得到的式(5)完全一致，因此用式(6)和式(12)定义的压杆临界力是等价的。

下面我们对计算结果进行简要的分析。从式(11)可以看出，在小变形情况下，Δ=π2δ2/(4l)，即水平位移Δ是压杆中点挠度δ的二阶小量。再由式(5)或式(10)可知，在小变形情况下，随着杆件中点挠度δ的微幅增加，载荷F的大小几乎不发生变化。因此，考虑水平位移Δ的边界条件，与传统材料力学教材[1]中不考虑Δ的边界条件，对临界力的表述几乎没有差别。但是如果不考虑水平位移Δ的边界条件，将导致临界力的定义不够严格和清晰，并且会导致临界力作用下压杆中点挠度不确定问题。

应该指出，在小变形条件下，材料力学形成了一整套严整的理论体系，并且在理论的推导和计算中，一些小量完全可以忽略。然而压杆稳定问题，在材料力学中可以说是一个特有的现象，只有在考虑水平位移Δ的边界条件下，通过极限过程才可以得到临界力的严格定义，并且可以解决长期争议的压杆中点挠度的不确定问题[3-7]。

通过以上的计算和讨论，我们可以对理想弹性细长压杆的稳定性做如下定义：当载荷F＞Fcr时，在无扰动的情况下，压杆可以处于直线平衡状态，在有扰动的情况下，压杆将处于微弯的曲线平衡状态，并且撤去干扰后杆件无法恢复到原来的直线平衡状态，压杆此时处于的状态称为失稳状态；当载荷F＜Fcr时，在扰动作用下压杆发生微弯，撤去干扰后，杆件仍然可以恢复到原来的直线平衡状态，压杆此时处于的状态称为稳定状态；当载荷F=Fcr时，压杆处于的状态称为临界状态。需要指出的是，此处压杆稳定性的定义基础源自上文严格的极限状态分析，从而保证了压杆稳定理论对问题描述的完备性。

3 结论

本文从当前细长压杆稳定存在的争议问题展开讨论，指出压杆中点挠度δ的不确定源自于两点：一是失稳的定义不够准确；二是边界条件给的比较粗糙。分析结果表明，对于小变形的理想弹性细长压杆，载荷F与压杆中点挠度δ存在一一映射的对应关系。当载荷F＞Fcr时，如果理想弹性细长压杆处于微弯状态，此时若将载荷逐渐减小，压杆可以逐渐恢复到临界力Fcr对应的直线状态，因此临界力作用下压杆中点的挠度等于0。在此基础上，本文给出了压杆临界失稳载荷的严格定义，并重新定义了临界状态，得到了自洽和完备的压杆稳定理论。