一维带PML的Helmholtz方程的四阶差分法

朱启华 孙煜然 吴亭亭

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

考虑如下的一维Helmholtz方程:

(1)

对于Helmholtz方程(1), 应用PML 技术将无界域截断为有界域, 得到带PML的Helmholtz方程

(2)

其中

其中f0为震源主频, 一般取f0=25 Hz,LPML为PML 层的厚度,lx为匹配层的点到感兴趣区域与匹配层交界处的距离.a0为一正常数, 可取a0=1.79. 当在内部区域时,A≡C≡1, 此时带PML的Helmholtz方程(2)退化为Helmholtz方程(1).

目前, 数值求解Helmholtz方程的方法主要有有限元法[4-6]、有限差分法[7-10]等. 有限元法的精度高, 易于复杂边界条件和非均匀非结构化网格的处理, 但其计算量相对较大. 有限差分法的计算简单, 存储量小, 易于实现, 并且可以通过优化差分系数的方法来提高差分法的数值精度[1, 7, 9, 10].2013年,Chen等人[1]提出了带PML的Helmholtz方程的优化的9点有限差分法, 该格式为二阶格式. 2018年,Dastour等人[2]提出了带PML的Helmholtz方程的25点优化差分格式,该格式为四阶格式.文献[1]与[2]所研究的问题为二维Helmholtz方程. 2019年,Zhou等人[10]提出了一维Helmholtz方程的优化差分法, 该格式为二阶格式, 没有考虑吸收边界条件. 因此, 本文将重点研究一维带PML 的Helmholtz方程的四阶差分法. 首先, 针对一维带PML 的Helmholtz方程构造带参数的四阶差分格式, 并对差分格式进行相容性分析. 其次, 基于极小化数值频散的思想, 提出差分格式优化系数的整体选取策略和加细选取策略. 最后, 数值算例表明带加细参数的四阶差分格式提高了精度, 有效地抑制了数值频散, 在计算大波数问题时具有优势.

2 一维带PML的Helmholtz方程的四阶差分法

本节建立一维带PML的Helmholtz方程的四阶差分……