大学物理教材中的“差错图”在高等数学教学中的应用

黄品文 蔡亦良 黄世娟

摘要：由于某些视觉或其他特殊原因，部分大学物理教材中的图片存在着一些可能让学生产生误会的“小差错”，这些“小差错”为学生学习大学物理课程带来了一些困扰。作者同时从事大学物理与高等数学两门课程教学工作多年，在教学实践中，发现这些物理教材图片“小差错”可以用于构建高等数学相应章节的应用题。学生对这类因“差错”产生的数学例题兴趣浓厚，对相关知识的学习效果也得到明显的提高。

关键词：“差错图”、大学物理、高等数学、常数变异法、微分在近似计算中的应用

大学物理和高等数学是工科本科专业学生必修的两门非常重要的基础通识课程。这两门数学与自然科学类通识教育课程对培养工科学生基础的计算、建模、分析、推理能力具有非常重要的意义。这两门课也关系到学生科学素养的培养，对大学生毕业后的职业深度发展具有非常重要的作用。事实上，不管从事哪些工程技术类专业工作，高等数学、大学物理所蕴含的数学建模、计算分析能力都深深影响了相关工作的深入开展。高等数学与大学物理两门课程之间联系密切，相互依托，贯通协调。其中，高等数学（上）是大学物理的先修课，缺少一元微积分的知识储备，大学物理课程第一章质点运动学的学习就将处处受限。另一方面，高等数学课程理论性强，工科学生普遍对其定义、定理的理解、推导、证明缺乏足够的兴趣。相对于定义、定理的推导证明，工科生普遍喜欢应用数学定理开展直接的运算和应用。由此，高等数学的教学也大量使用其在物理学上的应用[1]。例如，现在通行的经典高等数学教材都有专门的章节讲解面积分、线积分在计算物体质量中心、转动惯量上面的应用等等[2]。

但是，上述高等数学在大学物理题目中的应用案例非常少，且非常“经典”。而且，這些例题已经数十年未发生变化，显得不够“创新”。这可能与高等数学课程内容相对独立、体系发展非常完善有关，也可能与相对“完美”、契合度高的大学物理案例较少有关。因此，为了丰富高等数学课程中大学物理题目数量和新颖性，对传统大学物理课程和教材的“挖掘”非常重要[3]。在教学工作中发现，大学物理教材中的一些教学用图并非百分百合理，容易造成学生的误会和理解困难。这些图片对学生理解大学物理知识造成了一些障碍，但是细心发掘、将错就错可以构建出适合高等数学教学的很好的题目。下文以作者挖掘的一道大学物理教材“错图”引出的高等数学题目为例进行说明。

在大学物理《牛顿运动定理》章节，有这么一道练习题：

“光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧做圆周运动，其摩擦系数为μ，开始时物体的运动速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率;（2）当物体速率从v0减少到0.5v0时，物体经历的时间和路程。”

该题的题意是让学生分析水平光滑桌面上运动的物体贴圆环内测做圆周运动。分析清楚题意得同学可以非常快地列出物体在切向方向运动方程，和法向方程，然后根据摩擦力与正压力之间的关系，化简得出一个可分离变量的常微分方程进行求解。但是，不少教材给该习题配了图1所示的题图。严格意义上讲，图1可以反映题目中物体的运动状况，并不能算做差错图。但是这是副俯视图，非常多的同学错误地把圆环看成是竖直放置的，物体紧贴圆环内侧在竖直方向做圆周运动。由此列出了较为复杂的非齐次常微分方程，大部分学生都很难进行解答。这一影响牛顿运动定律相关知识学习的“差错图”，可以构建为讲解高等数学中非齐次常微分方程知识的例题，并将题目的“缘起”告诉学生，以激起他们的学习兴趣，达到非常好的教学效果。下面是重新构建后的高数例题。

“如图2所示，竖直放置的一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧做竖直方向的圆周运动，圆环与物体之间的摩擦系数为μ。开始时，物体在圆环底部，初始的运动速率为v0，求：t时刻物体的速率。

该题的物理背景较浓，在高等数学课上讲授时，作者帮助学生进行了受力分析（如图2），并列出了动力学方程：

根据摩擦力与正压力之间的关系和变量变换，可以将上述两个方程转换成：

自此，一道大学物理牛顿运动定律题目的“差错图”便转化成了高等数学中的一阶非齐次常微分方程求解的例题。具体上课时，便可以引导学生先求解一阶齐次的常微分方程：

再用常数变异法和初始条件（）完成上述题目的最终求解。

综上，适当挖掘大学物理教材中的各种元素，特别是教学用图。利用其中含有的造成误解的相关知识，可以构建出较为有趣且应用型明显的高等数学例题，再辅以题目的“差错图”缘起，可以很好地调度学习高等数学相关知识的积极性，从而提高学习效果，收到意想不到的效果。

本文为浙江省水利厅一般科技项目（RC1991）、浙江水利水电学院校级课程思政教学改革项目的研究成果。

参考文献：

[1] 邓文武，大学物理学与高等数学的衔接研究[J]，教育现代化，2019年第6期.

[2] 同济大学数学系，高等数学[M]，高等教育出版社，2014年第七版.

[3] 吴王杰，杨军，融合教学案例建设一流大学物理教材[J]，中国大学教学，2020年第6期.

[4] 陈庆东，巩晓阳，大学物理实验教程[M]，机械工业出版社，2013年第2版.