亚纯函数正规族的一点注记

胡雅倩,徐 焱

(南京师范大学数学科学学院,江苏 南京 210023)

1 引言及主要结果

1959年,Hayman[1]得到

定理A设f(z)是C上亚纯函数,k≥5,a(≠0)、b为有限复数,若

f′(z)-afk(z)≠b,

则f是常数.

Mues举例说明当k=3,4时定理A不成立. 根据Bloch原理,Hayman猜测相应的正规定则可能也是正确的. 1985年,李先进[2]证明了

f′(z)-afk(z)≠b

最近杨锦华等[5]将上述正规定则中的常数a(≠0)换成全纯函数a(z)(≢0),得到了

f′(z)-a(z)fk(z)≠b(z),

自然地,想知道定理C中a(z)换成亚纯函数结论是否成立呢?本文得到了下面的结果.

f′(z)-a(z)fk(z)≠0,

注下面的例子说明定理1中条件当“a(z)=∞时,f(z)≠ 0”是必须的.

f′(z)-a(z)fk(z)≠0,

因为函数族的正规性是局部性质,结合定理1和定理C可得:

f′(z)-a(z)fk(z)≠0,

2 定理的证明

为了证明本文的结果,需要下列引理

定理1的证明由f′(z)-a(z)fk(z)≠0, 及当a(z)=∞时,f(z)≠0,可以断言:

(1)

(2)

令