旋转液体液面形状的几种解法

程震惊

(新疆生产建设兵团第二中学，新疆 乌鲁木齐 830002)

题干中介绍了旋转液体的液面为旋转抛物面，据此考察了液体旋转前后，液面高度的变化和一些几何光学的知识.但是很多学生对于旋转液体液面形状形成的缘由并不清楚，后续处理一些相关内容时，会感到棘手.笔者对该问题，使用不同的方法，从不同的角度进行说明.

图1

在重力的作用下，假设旋转液体的液面达到稳定状态.如图1所示，取坐标原点在液面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直.

方法1.由于液面达到稳定状态，取液面上(r，z)处，某一质量为m的小液滴作为研究对象.小液滴在重力mg和支持力N的共同作用下做匀速圆周运动，角速度为ω.则小液滴受到的合力为

F合=mgtanθ=mω2r，

其中r是小液滴到z轴的距离，而

进而得到液面微分方程

解得

代入初始条件，ω=0时，z=z0，其中z0为液体没有旋转时液面的z轴坐标，得

为抛物线，绕z轴旋转可得旋转抛物面.

图2

方法2.取旋转的圆筒为参考系，为非惯性参考系.由于液面达到稳定状态，对于某个质量m的小液滴而言，即达到了受力平衡状态.因此，有小液滴受到重力mg，支持力N，惯性离心力F惯=mω2r，3个力的合力为0，如图2所示.小液滴沿液面切线方向受力平衡，有

mgsinθ=mω2rcosθ，

而

进而得到液面微分方程

后续解法同方法1.

图3

方法3.取液面上某一点(r，z)到z轴的距离对应的水平细液柱为研究对象，如图3所示.

化简得

图4

为抛物线，绕z轴旋转可得旋转抛物面.

得

为抛物线，绕z轴旋转……