置换上的一类Hopf代数结构

赵明泽 李慧兰

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

对称群中的置换已经被应用于多个研究领域，如计算机科学、财务分析和交通模拟等.由于Hopf代数结构的稳定性往往揭示了组合数学中深层次的性质和联系，所以Hopf代数逐渐成为代数组合学的重要研究内容之一.自1979年Joni等人[1]在研究置换的离散结构时发现这些离散结构具有天然的Hopf代数结构， 到2003年Aguiar等人[2]提出了组合Hopf代数的概念，越来越多的组合Hopf代数被发现和研究，并且很多Hopf代数与代数表示理论、代数几何、图论等研究领域有紧密的联系[3，4].

由文献[5]可知，Hopf代数结构是由代数结构和余代数结构、双代数结构逐步推导得来的.Hopf代数拥有双代数结构，且代数结构与余代数结构兼容，并满足对极映射条件.在代数B中，若存在一个直和分解B=⊕i≥0Bi，其中Bi中的元素为i阶的，且任意p阶与q阶元素的积是p+q阶元素，则B是分级代数.类似地，可以给出分级余代数的定义.如果一个环R上的分级双代数H=⊕i≥0Hi满足H0≅R，则称H为分级连通的.由于任何分级连通的双代数都拥有唯一的对极映射，所以分级连通的双代数都是Hopf代数.

在组合数学中，置换一词传统上是指一组有序的排列.1983年，基于 “字母”之上，Lothaire[6]将“字母”按照一定的顺序排列并将这些有序列构成了一个集合，之后Lothaire在这个集合上加上二元运算，进一步引入了代数结构.设A是一个字母表，A中的每个元素都是一个字母，由这些字母组成的“单词”是一个有限序列，所有的单词所……