浅谈常微分方程教学中解的存在唯一性定理

薛帅帅 邓海云

摘要物理、生物、化学以及工程技术中的大量问题，如果用数学语言加以精确描述，常常会出现微分方程，而解的存在唯一性定理又是解微分方程的前提和理论基础。本文主要探讨在常微分方程课程教学中证明解的存在唯一性定理的证明思路，目的是通过补充说明使证明更容易理解。解的存在唯一性定理的证明过程，提供了一个全面锻炼学生数学思维习惯与能力的契机，希望学生在学习过程中能更加深刻的理解其中所包含的想法，培养善于思考的学习习惯。

关键词 常微分方程 解 存在性 唯一性

中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.27.039

On the Existence and Uniqueness Theorem of Solutions in the Teaching of Ordinary Differential Equations

XUE Shuaishuai， DENG Haiyun

（School of Statistics and Data Science， Nanjing Audit University， Nanjing， Jiangsu 211815）

AbstractIf a large number of problems in physics， biology， chemistry and engineering technology are accurately described in mathematical language， differential equations often appear， and the existence and uniqueness theorem of solutions is the premise and theoretical basis for solving differential equations. This paper mainly discusses the proof idea of proving the existenceand uniqueness theorem ofsolution intheteachingofordinarydifferentialequation，inordertomake theproofeasier to understand through supplementary explanation. The proof process of the existence and uniqueness theorem of solution providesanopportunitytocomprehensivelyexercisestudents’mathematicalthinkinghabitsandabilities.Itishopedthatstudents canmoredeeplyunderstandtheideascontained initandcultivatethinkinglearninghabitsinthelearningprocess.

Keywordsordinary differential equation； solution； existence； uniqueness

常微分方程是一門非常重要且实用的课程，与分析学有着天然的血缘关系，常微分方程是伴随微积分的发展而产生并逐步完善的。尤其当今时代计算机的迅速发展，更是为这门课的理论研究以及实际应用提供了强有力的工具。同时，常微分方程还与控制、弹道计算，导弹飞行的稳定性、生态学等其他学科领域交叉发展，应用常微分方程理论取得了丰富的发展

我们知道，常微分方程发展初期确实是希望用初等函数甚至用超越函数去表示微分方程的解。但是，常微分方程能用初等解法求解的类型少之又少，大量的常微分方程是不能用固定的方法进行求解的。然而，实际往往又需要我们对这些方程进行求解，常微分方程开始转而求定解。那么在求定解之前，首先我们就要考虑两个非常重要的问题，方程是否有解？……