Taylor不等式在解题中的应用

董立伟

[摘 要]Taylor不等式可以应用在求解参数取值范围、不等式的证明及估值等问题.

[关键词]Taylor不等式;参数;不等式;估值

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0026-03

Taylor不等式：当[x>0]时，[x-1x≤lnx≤x-1].

Taylor不等式的后半部分以一个等价形式[ex>1+xx≠0]出现在普通高中课程标准实验教科书数学A版选修2-2（人民教育出版社，2007年第2版）第32页B组第1题.

Taylor不等式既是命制导数压轴题的重要模型，也是求解导数压轴题的重要工具.

一、求参数取值范围问题

[例1]已知函数[fx=ln xx-ax2+a].若对任意[x≥1]，有[fx≤0]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解：当[x=1]时，[fx≤0]显然成立.

当[x>1]时，[fx≤0]等价于[a≥ln xxx2-1].

由Taylor不等式，当[x>1]时，[x-1x<ln x<x-1]，所以[1x2x+1<ln xxx2-1<][1xx+1].

记[gx=ln xxx2-1]（[x>1]），[hx=1x2x+1]（[x>1]），[ix=1xx+1]（[x>1]）.

因为[hx=-3x+2x3x+12<0]，所以[hx]在[1，+∞]上单调递减.故[hx<h1=12].

因为[ix=-2x+1x2x+12<0]，所以[ix]在[1，+∞]上单调递减.故[ix<i1=12].

又因为当[x→+∞]时，[hx→0]，[ix→0]，所以[gx]，[hx]与[ix]的值域均为[0，12].故[a]的取值范围是[12，+∞].

评析：恒成立求参数取值范围的问题，分离参数是重要的方法.但本题分离参数后所得函数[gx]的形式较为复杂.借助Taylor不等式放缩所得[hx]与[ix]的形式则较为简单.并且利用双侧逼近的思想确定[gx]的值域，规避了对[gx]求导所可能产生的繁雜运算.

[例2]已知函数[fx=2ln x-ax]（[a∈R]）.当[x≥1]时，总有[x fx+a≤0]，求实数[a]的取值范围.

引理：当[x>1]时，[ln x<12x-1x].

证明：构造函数[mx=ln x-12x-1x]（[x>1]）.则[mx=-x-122x2<0]，所以[mx]在[1，+∞]上单调递减，从而[mx<m1=0].

故，当[x>1]时，[ln x<12x-1x].

解：[x fx+a≤0]，即[ax2-1≥2xln x].

当[x=1]时，[ax2-1≥2xln x]显然成立.

当[x>1]时，[ax2-1≥2xln x]等价于[a≥2xln xx2-1].

记[gx=2xln xx2-1]（[x>1]），

由引理及Taylor不等式，当[x>1]时，[x-1x<ln x<12x-1x]，所以[2x+1<gx<1]. 又因为当[x→1]时，[2x+1→1]，所以[a]的取值范围是[1，+∞].

评析：（1）我们希望利用Taylor不等式对[gx]做放缩之后所得到的函数与[gx]的函数取值具有相同的上确界.但是利用[ln x<x-1]放大所得函数[y=2xx+1]与利用[x-1x<ln x]缩小所得函数[y=2x+1]在[1，+∞]上函数取值的上确界并不相同.分析发现，这是由于[ln x<x-1]将[gx]放得太大了.利用……