巧借椭圆模型 妙解数学问题

朱雄周

[摘 要]椭圆作为一个数学的基本模型，在破解一些相关问题中有妙用.比如，解方程、三角的求值和实际应用等问题.借用椭圆，能实现知识相通，巧妙转化，开拓解题思路，优化解题方法，提升学生解题能力.

[关键词]椭圆;模型;方程;三角;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章編号]    1674-6058（2021）26-0029-02

数学建模作为高中数学学科核心素养的一大内容，是教师教学与学生学习中一大必备的技能.其是针对参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构，是解决问题的一种重要途径.巧妙借助椭圆模型，合理转化，不仅有“化繁为简” “化难为易”“化数为形”之功效，还能开拓学生思维，能丰富学生想象力.

一、方程的求解问题

[例1]解方程：[x2-4x+5+x2+4x+5=6].

分析：利用方程中两根式之和为定值6，合理联想到椭圆的定义，构建椭圆模型，通过引入参数[y2=1]，结合题目条件建立相应的椭圆方程，再将[y2=1]代入椭圆方程即可确定原根式方程的根.

解：整理可得[（x-2）2+1+（x+2）2+1=6]，

令[y2=1]，则有[（x-2）2+y2+（x+2）2+y2=6]，

以上方程表示的是动点[P（x， y）]到定点[F1（-2， 0）]与[F2（2， 0）]的距离之和为6的轨迹，结合椭圆的定义可知其对应的轨迹为椭圆方程：[x29+y25=1]，

将[y2=1]代入以上方程，可得[x=±655].

经检验可知[x=±655]是原方程[x2-4x+5+x2+4x+5=6]的根.

点评：常规方法是经过两次平方去根号求解，运算量大，过程繁杂，容易出错.而结合题目特征，联想与之对应的椭圆定义，合理建模，借助椭圆模型来处理，方便处理，简化运算，提升效益.

二、三角的求值问题

[例2]在[△ABC]中，已知[AC+BC=10]，[AB=8]，则[tanA2·tanB2]的值为 .

分……