数学模型在传染病建模中的应用

上海健康医学院 医疗器械学院 上海 213038

数学建模对于激发大学生的学习兴趣、增强数学创新实践能力、提升竞争意识和创新意愿等方面的积极作用已经成为教育界的共识[1]。然而,学生们在遇到实际问题时常常感到无从下手,课堂上学到的相关知识不能进行有效的转化和应用。如何学以致用,提高解决实际问题的能力一直是学者们关注的问题。在传染病建模中,长期占据主导地位的是仓室模型,这一思想是由Robert和May提出的,目前仍在不断的沿用和发展,所谓的仓室模型是指针对某类传染病的传播特点把人群分为相应的类群,然后根据疾病的传播规律,构建相应的数学模型[2]。本文将采用仓室模型的基本思想,着重介绍四类常见传染病的建模思路。

1 艾滋病传播模型(SI模型)

因此,该疾病的数学模型可以表示为:

2 流感模型(SIS)

SIS模型与SI模型的主要差异在于SIS模型中被感染者可以被治愈,比如季节性流感等。但是由于流感病毒容易变异,所以痊愈的病人仍然有被感染的可能性,因此该模型需要在SI模型的基础上考虑病愈后的个体重新回到易感者人群中,也即需要用SIS模型来描述。假设病人从感染者转变为易感者的概率为α,其他参数和上面相同,我们可以用以下常微分方程组来描述该模型:

3 急性传染病模型(SIR)及其拓展模型(SIRS)

SIR模型刻画的传染病为发病迅遠,康复后体内含有终身免疫的抗体,不会再被感染的疾病,如:天花、麻疹、腮腺炎等。由于痊愈后个体具有免疫力,不会被再次感染,所以对于这类疾病而言,应将人群划分为易感者(S)、感染者(I)和移出者(R)三类,γ,则单位时间会有γI个感染者进入移出者仓室,模型的具体形式如下:

SIRS模型与SIR模型的区别在于,后者具有终身免疫期,康复的病人不会再次被感染;而前者有暂时的免疫期,病人康复后先进入移出者仓室,然后再以一定的比例进入易感者仓室。

4 带潜伏期的传染病模型(SEIR)

SEIR模型刻画的是具有感染潜伏期,在潜伏期内不表现出感染症状,但是能够感染易感者个体,并且治疗康复后将产生抗体不会再被感染的疾病,如SARS疾病,所以对于这类疾病而言,应将人群划分为易感者(S)、潜伏者(E)、感染者(I)和移出者(R)四类,假设潜伏者确诊感染的概率为σ,疾病的康复率为γ,其他参数与前面相同,那么模型的具体形式如下:

综上,本文只是从疾病传播机理的角度介绍了四类传染病最基本的数学建模方法,而在实际问题中疾病的传播是非常复杂的过程,例如疾病的垂直传染性、时滞因素和参数的确定等,需要我们综合考虑各种因素,制定出最能反映实际情况的模型,只有这样才能真正做到理论联系实际。