用待定系数法确定二次函数表达式

韩卫华

我们在学习时要不断小结，在小结中继续前行。学习了二次函数的图像和性质后，我们不妨停下来回头看看，是如何确定二次函数的表达式的，或者说是如何根据题目的条件特征，更方便地确定二次函数表达式的。我们先看下面这个对比表，再通过例题解读。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（1，5），B（-1，9），C（0，8）。求这个二次函数的表达式、开口方向、对称轴和顶点坐标。

【解析】设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，

根据题意，得[a+b+c=5，a-b+c=9，c=8，]

解得[a=-1，b=-2，c=8。]

所以二次函数表达式为y=-x2-2x+8，

因为y=-x2-2x+8=-（x+1）2+9，

所以抛物线开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，9）。

【点评】题目给出的点不是顶点，也不是与x轴的交点，而是任意三点的坐标，因此，我们设一般式，将三个点的坐标代入，解这个三元一次方程组得出结果。待定系数法是求二次函数表达式最基本的方法，需熟练掌握。

例2 已知抛物线的对称轴是直线x=1，函数的最小值是-1，且圖像经过点（3，1），求此抛物线的函数表达式。

【解析】根据题意知函数图像的顶点坐标为（1，-1），所以设此函数表达式为y=a（x-1）2-1。

又因为图像经过点（3，1），

所以1=a（3-1）2-1，解得a=[12]，

所以此函数表达式为y=[12]（x-1）2-1。

【点评】在已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最值） 和另一条件的情况下，通常选择设顶点式，再借助另一条件得到关于a的一元一次方程。

例3 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

[x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 -3 -4 -3 0 … ]

求这个二次函数的表达式。

【解析】观察表格中的数据，知道二次函数的图像与x轴交于（-3，0）、（1，0）两点，所以设 y=a（x+3）（x-1），将（0，-3）代入，得-3=a×3×（-1），解得a=1，所以这个二次函数的表达式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3。……