对偶平坦且具有迷向[S]-曲率的指数Finsler度量

【摘   要】   研究了形如[F=αexp（βα）]的指数Finsler度量，其中[α=aij（x）yiyj]为黎曼度量，[β=bi（x）yi]为非零[1-]形式，得到了其为局部对偶平坦且具有迷向[S]-曲率的充要条件。

【关键词】   局部对偶平坦;[S]-曲率;[（α，β）]-度量;闵可夫斯基度量

Dually Flat Exponential Finsler Metric with Isotropic S-Curvature

Hua Yiping

（Chizhou University，Chizhou 247000， China）

Abstract： In this paper， we study exponential Finsler metric in the form of [F=αexp（βα）]，Where [α=aij（x）yiyj]is a Riemannian metric， [β=bi（x）yi]is a 1-form. The sufficient and necessary conditions for it to be locally dually flat and of  isotropic S-curvature are obtained.

Keywords： locally dually flat;  S-curvature; [（α，β）]-metric; Minkowskian

〔中圖分类号〕  O186.12   〔文献标识码〕  A             〔文章编号〕 1674 - 3229（2021）03- 0000 - 00

对偶平坦的概念由S.I.Amari 和 H.Nagaoka在研究黎曼空间中的信息几何时首次引入[1]，随后沈忠民教授将对偶平坦的概念推广到Finsler几何[2]，给出了Finsler空间中局部对偶平坦的概念。[F=F（x，y）]是[n]维流形[M]上的Finsler度量，若在任一点存在局部坐标系[（xi）]，使得测地系数[Gi=-12gijHyj]，其中[H=H（x，y）]是[TM＼{0}]上三次正齐性的光滑标量函数，则称Finsler度量[F]是局部对偶平坦的。文献[2]中，沈忠民教授证明了[F=F（x，y）]是局部对偶平坦的当且仅当[[F2]xkylyk-2[F2]xl=0]。

局部对偶平坦的Finsler度量具有很多很好的性质，目前已有许多研究结果。文献[3]刻画了局部射影平坦及局部对偶平坦的Finsler度量，并找到一组刻画局部对偶平坦的Randers度量的方程，文献[4]研究了局部对偶平坦的[（α，β）]-度量，得到一组刻画局部对偶平坦的[（α，β）]-度量的方程。文献[5]研究一类局部对偶平坦的弱Landsberg的[（α，β）]-度量，得到其为局部闵可夫斯基度量的充要条件。

[S]-曲率是一个非常重要的非黎曼几何量。沈忠民教授研究体积比较定理时引入了[S]-曲率，它是切从上的标量函数，反映了畸变沿着测地线的变化率。如果[S=（n+1）c（x）F]，则称[F]具有迷向的[S]-曲率，其中[c=c（x）]是[n]维流形[M]上的标量函数，如果[c]为常数，则称其为常[S]-曲率。

[（α，β）]-度量[F=αφ（s）]，[s=βα]，其中[α]为黎曼度量，[β=bi（x）yi]为[1-]形式。当[φ（s）=es]时，[F=αexp（βα）]，此时称[F]为指数Finsler度量。本文刻画了局部对偶平坦且具有迷向[S]-曲率的指数Finsler度量，得到如下定理。……