几类正惯性指数为2的图的刻画

彭杨　耿显亚　朱娜

摘 要：图G的正惯性指数p（G）定义为图G的邻接矩阵A（G）中正特征值的个数.正惯性指数为2的图的刻画仍是未解决的问题.本文刻画正惯性指数p（G）=2的树、单圈以及双圈图.

关键词：邻接矩阵; 图的正惯性指数; 图的秩

[中图分类号]O157.6   [文献标志码]A

Several Types of Graphs with Positive Inertia Index 2

PENG Yang，GENG Xianya，ZHU Na

（School of Mathematics and Big Data，Anhui University of Science and Technology，Huainan 232001，China）

Abstract：The positive inertia index of a graph G is p（G），which is defined as the number of positive eigenvalues of adjacency matrix A（G）.The characterization of a graph with a positive inertia index of 2 remains a unresolved problem.This paper characterizes trees，unicyclic and bicyclic graphs with positive inertia index p（G）=2.

Keywords： Adjacency matrix; Positive inertia index of graphs; Rank of graphs

Key words：adjacency matrix;positive inertia index of graphs;rank of graphs

圖的惯性指数研究源自于上世纪量子化学中E.Hu··ckel发现的重要现象——E.Hu··ckel理论.该理论表明，不饱和碳氢化合物的分子活跃性与其分子图对应的零度及正惯性指数有密切关系.[1-2]1957年图论学家提出要刻画所有的奇异图这一公开问题[3]——刻画所有零度大于零的图的问题——对图的惯性指数的刻画成为图谱理论的热点问题之一.很多学者得到了一些有意义的结果[4-7]，但正惯性指数为2的图的刻画仍是未解决的问题，故笔者刻画了正惯性指数为2的树、单圈以及双圈图.

1 主要引理

本文考虑的是简单、连通、无序的图.令G=（V，E），其中V=v1，v2，…，vn是非空的顶点集，E=e1，e2，……，em是边集.图G的邻接矩阵A（G）=（aij）是对称矩阵，定义为：如果vi和vj相邻，则aij=1，否则aij=0.假设V′是V的一个非空子集，以V′为顶点集，以两端点均在V′中的边的全体为边集所组成的子图，称为G的由V′导出的子图，记为G[V′].G[V′]称为G的导出子图，简记为GΔG[V′].四个邻接矩阵的谱参数：图G的正惯性指数p（G）就是图G的邻接矩阵A（G）的正特征值的数目.图G的负惯性指数n（G）就是图G的邻接矩阵A（G）的负特征值的数目.图G的零度η（G）就是图G的邻接矩阵A（G）的零特征值的重数.图G秩r（G）就是图G的邻接矩阵A（G）的秩.显然，对于以上四个参数，有以下两个自然得到的等式