无限维空间上的波方程和Schrödinger 方程解的存在性和唯一性

梁冬冬

(四川大学数学学院， 成都 610064)

1 引 言

设H为无限维可分的复Hilbert空间，u为定义在H上的泛函.类似于有限维空间上的偏微分方程，我们也可以建立一个以u为未知函数的H上的偏微分方程.我们称这样的微分方程为无限维空间上的偏微分方程. 这一类微分方程来源于量子场论、晶体的固态理论及具有无限多个自由度的系统、无限维随机控制理论等[1-8].

在有限维空间中，我们可以利用概率论的方法研究偏微分方程，推广这种方法也可以去研究无限维空间的偏微分方程. 比如：文献[2-3] 利用随机微分方程得到了无穷维空间中的线性抛物偏微分方程的解，即Feynman-Kac 表示. 文献[4]利用正、倒向随机微分方程将线性Feynman-Kac 公式推广到了非线性抛物方程的情形. 文献[5]推广了这种方法，并利用非耦合的正、倒向随机方程得到了无穷维空间的半线性抛物方程的初值问题的mild解，进而利用动态规划方法研究了对应的随机最优控制问题.

另一方面，有界开集上的无限维空间中的抛物偏微分方程的初边值问题也引起了部分学者的关注.例如文献 [6] 利用停时对正向随机微分方程的解过程做了反射，得到了有界开集上的无穷维空间上的线性抛物偏微分方程的齐次边值问题解的存在唯一性.然而，非齐次方程的边值问题还未解决.当前，无限维空间中的微分方程的研究多局限在研究空间中的抛物方程.利用这种方法获得的较好的结果见文献[7]，该文解决了耦……