GLS-代数的奇点范畴

姜习伟

(四川大学数学学院， 成都 610064)

1 引 言

代数的奇点范畴的定义为有界导出范畴关于有界投射复形范畴的 Verdier 商. Orlov将这个概念推广到代数几何和理论物理的研究中. 代数的奇点范畴反映了代数的同调性质，奇点范畴平凡当且仅当代数的整体维数是有限的. Buchweitz[1]和 Happel[2]证明，对于 Gorenstein代数，奇点范畴与 Gorenstein 投射模的稳定范畴是等价的. Gorenstein 代数是代数表示论中很重要的一类代数，包含许多重要的代数，如丛倾斜代数、2-CY-倾斜代数、三角范畴中丛倾斜对象的自同态代数以及本文研究的 GLS-代数等.

对于分次代数，我们可以类似定义代数的分次奇点范畴. Keller[3]证明：若代数的三角范畴C存在倾斜对象T，则T的自同态代数的反代数 Λ 的有界投射复形范畴Kb(projΛ)与C是三角等价的. 特别地，若Λ的投射维数有限，则C三角等价于Db(Λ). Yamaura[4]对正分次的自入射代数构造了Z-分次模范畴的稳定范畴中的倾斜对象T，从而利用T的自同态代数将稳定范畴实现为导出范畴. 受 Yamaura 的工作的启发，Lu 和 Zhu[5]证明：对正分次1-Gorenstein 代数A，若A0的整体维数有限，则Z-分次奇点范畴存在 silting对象，并证明了 Gorenstein monomial 代数的Z-分次奇点范畴存在倾斜对象，进而利用该倾斜对象的自同态代数刻画了该奇点范畴. 另外，Geiss, Leclerc 和 Schröer[6]对任意可对称化广义嘉当矩阵定义了其相伴 GLS-代数和预投射代数，将 Gabriel 定理从单边根系 ADE 型推广到了非单边根系BCFG型， 并利用卷积代数(convolution algebra)实现了可对称化 Kac-Moody 代数的泛包络代数的正部分.

定理1.1设H=H(C,D,Ω)是对应于C,D,Ω的GLS-代数. 则T是Dsg(modZH) 中的倾斜对象. 特别地，有如下的……