一类函数型复微分方程的整函数解

卫玉明，刘 凯，高迎春

(南昌大学理学院数学系，江西 南昌 330031)

1 引言与主要结果

本文中，我们假设读者熟悉Nevanlinna理论[1-2]的基本概念和符号，且f(z)为复平面上的亚纯函数。对于非线性函数方程而言，利用Nevanlinna理论可以得到其亚纯函数解的存在性、增长性和零点极点等方面的性质，然而求其所有的亚纯函数解的形式往往是很困难的事情。在文献Yang和Li[3]，Heittokangas,Korhonen和Laine[4]中，作者通过观察三角公式sin3z=3sinz-4sin3z,研究了一类重要的的非线性微分方程

4f(z)3+3f″(z)=-sin3z

(1.1)

的亚纯函数解的性质，并得到了下列结果:

定理A[3]方程(1.1)只有3个亚纯函数解且都是整函数,分别是

f(z)n+P(f)=p1eα1z+p2eα2z

(1.2)

这里的P(f)是f(z)的微分多项式，p1,p2,α1,α2是非零常数,n(≥3)是正整数。这方面的结果可见文[5-6]，后来大家也研究了P(f)是差分或者微分差分或者q-差分形式的函数方程的亚纯函数解[7]。

基于常用的三角函数公式sin(z1+z2)=sinz1cosz2+cosz1sinz2。如果sinz被函数f(z)代替，cosz被f′(z)代替，便得到了下列的微分方程:

f(z1+z2)=f(z1)f′(z2)+f(z2)f′(z1)

(1.3)

Zhang和Yi[8，定理1.2]得到了下列结果:

注1在证明定理B的过程中，Zhang和Yi利用了正规族的一些理论，特别是Zalcman引理起到了重要作用，得到了方程(1.3)的亚纯函数解的增长级为不超过1的结论。事实上此结论可以利用引理2.2得到。

本文我们基于另外一个重要的三角函数公式，cos(z1+z2)=cosz1cosz2-sinz1sinz2,类似的，我们用f(z)替换cosz,用-f′(z)替换sinz,得到了下述微分方程:

f(z1+z2)=f(z1)f(z2)-f′(z1)f′(z2)

(1.4)

显然f(z)=cosz为上述方程的一个亚纯函数解，我们首先给出关于方程(1.4)亚纯函数增长性和存在性结果。

定理1.1方程(1.4)不存在非整函数的亚纯函数解，方程(1.4)的整函数解的增长级ρ(f)≤1。

下面的定理刻画了方程(1.4)的整函数解的形式。

2 引理

引理2.1[9]对……