内波的相似律及其实验室量化模拟关系

姚志崇，马向能，赵 峰，刘 乐

（中国船舶科学研究中心a.深海载人装备国家重点实验室；b.水动力学重点实验室，江苏无锡214082）

0 引 言

试验研究是最重要的内波研究手段，包括海洋实测和实验室模拟。由于海洋实测耗费巨大、周期长，因此，有关内波的大量研究是在分层流实验室中开展的。为了试验的方便或分析的方便，实验室中往往对实际分层环境做了大量的简化和近似。分层形式采用跃变分层或线性分层，以方便与理论分析结果比较，分层的密度差值或密度梯度比实际海洋的大了若干倍，以获得更强的内波信号方便观察和测量[1～2]。然而，一直以来,人们对能否在实验室的条件下模拟海洋中大尺度大范围传播的内波心存疑虑。

在研究内波的基本特性和一般规律时，这些简化或近似的影响往往没有考虑。但水下航行体激发内波问题，以及内波对海洋结构物的作用力问题，有明确的工程应用需求，在实验室中开展缩比模拟试验研究时，必须考虑海洋的实际分层环境[3～6]。海洋分层环境如何缩比模拟，缩比后实验测量结果与实尺度的对应关系如何,分层简化近似后试验结果的合理性如何，简化近似对试验结果的影响如何，在研究内波传至水面的尾迹信号特征时,还有表面波的干扰问题，在以往的研究中，鲜有深入的探讨分析。

本研究从流动的力学相似条件出发，分析了内波的相似关系，并采用内波预报模型[7～9]分析了分层结构和分层密度差对内波特征的影响，阐明了内波相似的条件，还分析了内波和表面波相似的制约关系，厘清了实验室量化模拟关系，为内波尾迹的实用化研究打下了基础[10]。

1 分层流中内波相似关系分析

分层流中内波仍然是流体力学现象，仍然遵守流动的力学相似原理。分层流中内波相似主要涉及海洋分层结构相似问题和重力场相似问题。

1.1 海洋分层结构相似问题

几何相似是指模型与实型的全部对应线性长度的比例相等。在船舶流体力学中，模型缩尺比一般指的是试验物理船模的缩尺比，即船模与实船几何相似。实际上，几何相似还应包括船舶周围水体的相似。但由于船行流场是扰流流场，周围的水域一般较大，水体的边界对流场影响可以忽略，水体的几何相似通常可以不考虑。然而，内波是由水下航行体扰动分层流体产生，且内波的尺度较大，内波的波长或波幅相对于水深以及分层参数（跃层厚度、跃层深度等）不是一个小量。因此，研究水下航行体扰动分层流体产生的内波时，必须考虑分层流体分层结构的几何相似。

海洋分层情况因季节不同和海域不同而各异。缩比模拟试验研究水下航行体在分层海洋中产生的内波时，为了满足分层结构的几何相似，需要针对具体海域的实际分层情况进行分层流体的模拟。

典型的海洋分层结构由密度梯度很小的上均匀层、密度跃层和密度梯度很小的下均匀层组成，如图1所示。

为了分析的方便，将海洋跃层做一些简化，如图2所示，上均匀层密度均质不变，跃层为密度梯度很大的线性分层，下均匀层密度也均质不变。描述这种分层结构的控制参数有：上均匀层厚度h1，密度ρ1；跃层厚度Δh，密度差Δρ；下均匀层厚度h2，密度ρ2；总水深H。其中，H = h1+ Δh+ h2，Δρ= ρ2- ρ1。

图1 海洋分层结构示意图Fig.1 Sketch of the structure of the stratified ocean

图2 三分层结构示意图Fig.2 Sketch of three sections of the stratified ocean

在研究内波时，为了分析的方便，还经常采用线性分层和两层分层。跃层的厚度若很大，扩展至水体上边界和下边界，则演变为线性分层；跃层的厚度若很小，则演变为两层分层。

1.2 重力场相似问题

由于内波是重力作用下产生的力学现象，分层流体中，产生内波的作用力确切地说应该是重力和浮力形成的合力，俗称“约化重力”。因此，内波必须考虑重力场相似，即傅氏数必须相等，区别于自由面表面波，重力场相似准则又称为内傅氏准则。

对于两层流体，内傅氏数为

式中，L为特征长度，v为航行速度，g′为约化重力加速度，表达式为

式中，Δρ为分层密度差，为ρ0分层流体当地的密度。

可以看到，式（1）与我们熟知的表面波傅氏数的表达形式很相近。唯一的区别是表面傅氏数表达

式中的重力加速度是g,而内傅氏数表达式中的约化重力加速度是g′。

对于连续分层流体（也可以是线性分层，甚至是任意分层），内傅氏数为

式中，N为浮力频率，表达式为

由内傅氏数动力相似准则可知，约化重力作用下相似的内波流场、速度、尺度和约化重力（也可以说是密度差或密度梯度）的比例尺受式（1）或式（3）制约，不能任意选取。

2 分层结构对内波尾迹特征的影响分析

上一章分析的是内波相似的严格条件，但在实际缩比模型试验时，往往不能完全满足上述相似条件。这就需要了解内波随有关参数的变化关系，确定哪些因素是主要因素，哪些是次要因素。

本章将采用内波理论预报模型[7-9]分析分层环境参数对内波尾迹的影响关系，为海洋分层环境的实验室模拟提供参考和指导。内波尾迹遥感探测技术研究中，比较关心内波传至水面的尾迹特征，内波水面尾迹流场的散度值反映了尾迹的强弱。因此，下面的分析中着重给出了内波水面尾迹流场的散度值随有关参数的变化关系。

按照图2所示的三分层结构示意图，近似模拟海洋跃层结构。参考海洋分层数据，总水深H取为90 m，上均匀层厚度h1为25 m，密度ρ1为1 021.26 kg/m3；跃层厚度Δh为10 m，密度差Δρ为3.13 kg/m3；下均匀层厚度h2为55 m，密度ρ2为1 024.39 kg/m3。

为了分析分层结构对内波尾迹特征的影响，改变跃层厚度、密度差等参数，进行对比分析。研究对象水下航行体的长L取为100 m，直径D为10 m，位于跃层中心30 m处。

图3（a）是跃层密度差相同、厚度不同时，内波水面尾迹随航行速度U变化的曲线对比。跃层厚度取5 m、10 m、30 m 和60 m 不等，图中纵坐标是航行体下游10L横断面处水面尾迹流场散度最大值（下同）。从图中可以看出，临界速度（指散度取得最大值时的水下航行体速度）随跃层厚度变大逐渐变小，对应的尾迹最大值逐渐变大。可见，跃层密度差相同、跃层厚度不同时，内波尾迹的临界速度不同，对应的尾迹最大值也不同。这说明跃层厚度对尾迹特征有影响。

图3（b）是跃层厚度相同、密度差不同时，内波水面尾迹随航行速度v 变化曲线对比，密度差取3.13 kg/m3和6.26 kg/m3。从图中可以看出，临界速度随密度差变大逐渐变大，对应的尾迹最大值也逐渐变大。这说明跃层的密度差对尾迹特征有影响。

图3 内波水面尾迹随航行速度变化曲线对比Fig.3 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature versus moving velocity

改变跃层厚度和密度差都可以改变跃层处的密度梯度，而描述内波重力相似的内傅氏数取决于密度梯度。因此，将航行速度用内傅氏数无量纲表达，同时将水面尾迹流场散度用浮力频率无量纲表达，进一步分析分层结构对内波尾迹的影响规律。图4（a）和图4（b）分别是与图3（a）和图3（b）对应的尾迹变化曲线。

从图4（a）可以看出，密度差相同、跃层厚度不同时，内波水面尾迹的临界内傅氏数不同。跃层厚度不同，意味着分层结构的几何相似不满足。这说明内波相似必须满足几何相似。因此，模拟分层环境时必须保证分层结构几何相似。

但是从图4（b）中可以看出，跃层厚度相同、密度差不同时，内波水面尾迹的临界内傅氏数基本相同。这说明虽然改变跃层厚度和密度差都可以改变跃层处的密度梯度，但是密度差的不同对尾迹随航行速度变化规律的影响，可以通过内傅氏数无量纲化处理表达，即跃层厚度相同、密度差不同仍满足内傅氏数重力相似准则。内傅氏数相等意味着对应的内波波形相似，但同样的跃层厚度时，密度差值越大，尾迹信号越强。这一认识对于实验室中模拟内波非常重要。实验室模型尺度下内波信号尾迹很弱，为了方便测量或者使信号能够达到可被测量的强度，可在保持分层水体结构几何相似的前提下，采用增加分层流的密度差值来实现。

图4 内波水面尾迹随内傅氏数变化曲线对比Fig.4 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature versus internal Froude number

3 实验室缩比模拟换算关系分析

为了论证实验室中如何缩比模拟分层环境，下面分析不同尺度时分层流体中内波尾迹的特征。将几何尺度缩小100倍，此时总水深为0.9 m，与分层流实验水池能够模拟的总水深相当。缩比后采用的水下航行体模型长为1 m，直径为0.1 m，潜深0.3 m。

图5 是密度差值相等、不同几何尺度时内波水面尾迹随内傅氏数变化的曲线对比。图中水面尾迹流场散度值采用浮力频率进行无量纲化处理。可以看到，不同尺度时内波尾迹随内傅氏数变化曲线吻合良好。这说明不同尺度时，内波满足内傅氏数重力相似准则，对分层流进行缩比模拟研究内波是可行的，可按内傅氏数相似准则进行模型尺度到实尺度内波尾迹的换算。

图6是三种不同的密度差值时，缩比模型几何尺度下，内波水面尾迹随水下航行体运动速度变化的曲线对比。密度差值分别采用3.13 kg/m3、12.52 kg/m3和25.04 kg/m3（实验室中可以配置浓盐水，分层密度差可以远大于实际海洋的密度差）。从图6 可以看出，相同的分层结构下，跃层的密度差值越大，临界速度越大，对应的尾迹信号也越强。除了尾迹信号强利于测量外，临界速度越高也越便于开展试验。这是因为激发内波的临界速度并不是太高，如图6所示，密度差为3.13 kg/m3时临界速度只有0.07 m/s 左右，如此低的航速，需要驱动电机处于很低频的状态才能获得，而特别低频的时候，电机运行不稳定，导致模型拖曳速度不稳定。

图5 不同几何尺度时内波水面尾迹随内傅氏数变化曲线对比Fig.5 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature with different scales versus internal Froude number

图6 不同密度差值时内波水面尾迹随航行速度变化曲线对比Fig.6 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature with different densities versus moving velocity

如图7所示，运动速度采用内傅氏数无量纲化表达。可以看到，三种不同密度差的工况对应的临界内傅氏数是相等的，只是尾迹信号强度的大小不一样。

如图8所示，内波水面尾迹采用分层流体的浮力频率归一化表达。可以看到，三种工况下内波水面尾迹随内傅氏数变化规律基本一致。这意味着分层流体跃层处密度差的不同带来的内波尾迹也不同，可以通过无量纲的方法进行归一化处理，这为试验室中采用大密度差分层流试验研究内波提供了依据。

图7 不同密度差值时内波水面尾迹随内傅氏数变化曲线对比Fig.7 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature with different densities versus internal Froude number

图8 不同密度差值时内波水面尾迹无量纲值随内傅氏数变化曲线对比Fig.8 Comparison of the graphs of dimensionless internal wave surface wake signature with different densities versus internal Froude number

4 内波和表面波重力相似的制约关系

在研究水下航行体内波传至水面的尾迹特征时，水下航行体也会不可避免地扰动自由面激发表面波。实际问题中，水下航行体的水面尾迹既有内波传至水面的尾迹，又有表面波的尾迹。内波和表面波的重力相似关系能够同时满足吗？同时满足的条件是什么？这些问题还从未有人考虑过，下面对其加以分析说明。

表面波重力相似须满足表面傅氏数相似准则。表面傅氏数表达式为

若要求实型与模型满足表面傅氏数相等，则有

式中，下标m表示模型，下标s表示实型（下同）。

对于两层流体中的内波，由式（1）和式（2）可知，若要求实型与模型满足内傅氏数相等，则有

式（6）和式（7）同时成立，即表面波和内波同时满足重力相似律，须有

又知，无论模型还是实型，密度差值相对于密度值是一个小量，所以有ρ0s≈ρ0m。式（8）可化为

因此，两层流体中表面波和内波重力相似准则同时成立的条件，是模型和实型的分层密度差相等。

对于连续分层流体中的内波，由式（3）和式（4）可知，满足内傅氏数相似准则，有

式（6）和式（10）同时成立，即表面波和内波同时满足重力相似律，须有

同样，ρ0s≈ρ0m。式（11）可化为

因此，连续分层流体中表面波和内波重力相似准则同时成立的条件，是模型和实型的密度梯度比与几何缩尺比成反比关系。

而且在几何相似的前提条件下，式（12）可化为

因此，在几何相似的前提条件下，连续分层流体中表面波和内波重力相似准则同时成立的条件，也是模型和实型的密度差相等。

前面讲到为提高内波尾迹信号的强度，在保持分层水体结构几何相似的前提下，可采用增加密度差值来实现。这样势必导致内波和表面波重力相似准则不能同时满足。这一矛盾如何解决呢？

5 内波尾迹和表面波尾迹特征对比分析

内波和表面波都是重力作用下产生的水波，都是重力波。理论分析时可以把二者分开来表达，但实验室或实际海洋中水下航行体运动时二者会同时存在。

采用理论分析方法，对模型尺度下（总水深0.9 m，密度差为25.04 kg/m3）的内波和表面波尾迹进行分析。图9 给出了内波和表面波水面尾迹随水下航行体运动速度变化的对比曲线。可以看出，内波尾迹对应的运动速度较低，在较高的速度时才产生明显的表面波尾迹。

中等速度时，内波尾迹和表面波尾迹并存。图10给出了速度为0.7 m/s时内波和表面波水面尾迹波形分布图。可以看出，此工况下内波尾迹由散波组成，而表面波主要由横波组成，二者的差异非常明显。

图9 内波和表面波水面尾迹随水下航行体运动速度变化规律对比曲线Fig.9 Comparison of the graphs of internal waves and surface waves signature versus moving velocity

图10 速度为0.7 m/s时内波和表面波水面尾迹波形特征对比Fig.10 Comparison of the figures of internal waves and surface waves at the velocity of 0.7 m/s

因此，采用大密度差进行内波尾迹缩比试验模拟，表面波和内波重力相似准则不能同时满足时，低速工况表面波很弱，水面尾迹以内波尾迹为主，可按内波傅氏数相似准则进行尾迹的缩比换算；高速工况内波很弱，水面尾迹以表面波尾迹为主，可按表面波傅氏数相似准则进行尾迹的缩比换算；中等速度时，根据内波和表面波特征的差异，通过图像信号处理将内波和表面波分离开来，分别按内波傅氏数和表面波傅氏数进行换算。

6 结 论

本文梳理了内波的相似律以及内波和表面波的制约关系，在分析不同分层参数和不同尺度下内波尾迹特征的基础上，论证了实验室中模拟海洋分层环境需要满足的条件。研究结果表明：

（1）分层结构的几何特征对内波尾迹有明显的影响，内波研究中必需保持分层结构的几何相似；

（2）跃层的密度差大小对尾迹有影响，但分层结构几何相似的流体，内波尾迹信号的强度可以通过浮力频率无量纲化处理，这为实验室研究中获得较强的内波信号以方便测量而采用较大的密度差提供了依据；

（3）内波尾迹和表面波尾迹有一定的可区分性，模型尺度下尾迹研究结果可按内傅氏数和表面傅氏数分别换算对应的实尺度结果。

上述认识很好地回答了实验室缩比模拟内波研究结果，以及如何换算给出海上实尺度结果，并且消除了实验室中通常采用大密度差能否模拟海洋分层环境的疑惑。

本文的研究成果是采用势流理论针对体效应内波而开展的，对速度较高时尾流效应激发的内波没有进行分析，这方面涉及湍流效应内波激发机理及传播演化特性问题，目前理论预报方法还不成熟，有待进一步研究。