一个全平面上的Hilbert型不等式及应用

有名辉

（浙江机电职业技术学院数学教研室，浙江杭州310053）

其中p ≥1, θ(x)是ℝ 上的非负可测函数.特别地, 若θ(x)=1, 简记另外, 如无特别指出,文中假定

若f,g ≥0, f,g ∈L2(ℝ+), 则有如下著名的含齐次核的Hilbert不等式[1]：

其中π是满足式(1)的最佳常数因子.

在同样的条件下, 还有经典的齐次核Hilbert 型不等式[1]：

以及

另外,杨必成[2]建立了式(2)类似的情形:

其中c0=0.915+为Catalan常数.

关于Hilbert 型不等式, 一般可以从离散型、半离散型以及积分型三种形态来研究.每一种形态又可研究其参数推广、系数改进以及高维推广等.与式(1)相关的研究可参见文献[3-9],与式(2)相关的研究可参考文献[10-13], 式(3)和式(4)的相关文献有[14-18]等.本文主要通过构建一个新的混合核函数, 建立对应的Hilbert 型不等式, 并通过对参数赋值,得到一些新的特殊结果.

1 引理

引理1设γ ＞0,ρ≥0,-ρ＜β ＜1,且

并定义

则有

及

证明：作变量代换xy=u, 通过细致的计算, 当x ≠0时总有

而

同理可算得

把式(11)及式(12)代入式(9),并结合式(5),可得

把式(13)代入到式(8),得式(6).类似可得式(7).

引 理2设λ,ρ1,ρ2＞0, ρ1+ρ2=λ, φ(x)=cotx,n ∈N+,则

证明：对φ(x)=cotx 的如下部分分式展开（参见文献[19]第397页）：

关于x求2n-1阶导数,可得

由此可知引理2成立.

引 理3设γ ＞0, ρ≥0, -ρ＜β ＜1, K(x,y)及C(β,ρ,γ)根据引理1 定义.ε 是充分小的正数,和定义为：

则当ε →0+时,有

证明：记

其中

令xy=u, 根据交换积分顺序的Fubini 定理,可知:

类似地,令xy=-u,可得

结合式(18)、(19)和(20)三式, 利用式(13), 可得ε →0+时:

引理3获证.

2 主要结果

定 理1设γ ＞0, ρ≥0, -ρ＜β ＜1, K(x,y)及C(β,ρ,γ)由引理1 定义, 且μ(x)= |x |p(1-β)-1, ν(y)=且则

其中2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ)是满足式(21)的最佳常数因子.

证明：由Hölder不等式,结合引理1,可得

若式(22)可以取等号, 则应有不全为零的两个实数θ与ς,使得

在ℝ×ℝ 几 乎 处 处 成 立, 即θ |x |p(1-β)fp(x)=ς |y|q(1-β)gq(y)在ℝ×ℝ 几乎处处成立.故存在常数ξ,使θ |x|p(1-β)fp(x)=ξ 及ς |y|q(1-β)gq(y)=ξ 在ℝ 几乎处处成立.不妨假设θ ≠0, 则在ℝ 几乎处处成立, 这与f ∈Lpμ(ℝ)矛盾.因此可知式(22)不取等号.

下面证明式(21)中的常数因子是最佳的.

假如这一常数因子不为最佳, 则存在0＜k ＜2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ), 使得式(21)中的常数因子变为k后式(21)仍然成立,即

中的f(x)和g(y),并利用引理3的结果,可得

故 当ε →0+时, 由 式(24)可 得2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ)≤k, 这显然构成矛盾.所以式(21)中的常数因子是最佳值.

定理1证毕.

在定理1 中, 令y=Y-1,G(Y)=g(Y-1) | Y|ρ-3, 为记号统一美观,再把Y写成y,G(Y)写成g(y),并记

则可得以下齐次型Hilbert型不等式.

定理2设γ ＞0, ρ≥0, -ρ＜β ＜1, C(β,ρ,γ)由引 理1 定 义,则

其中, 2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ)是满足式(25)的最佳常数因子.

在定理1 中, 令ρ=1, γ=2n-1, n ∈N+, 利用引理2的结论,可得下面推论.

推 论 3设 -1＜β ＜1, ψ(x)=tanx, μ(x)=且 f ∈则

类似地, 在定理2 中, 令ρ=1,γ=2n-1, n ∈N+,可得

推 论 4设 -1＜β ＜1, ψ(x)=tanx, μ(x)=f(x), g(x)≥0, 且 f ∈则

在定理1中,令ρ=2,β=0,则可得

推 论5设则

特别地,在式(1)中,令γ=1或γ=3,则有

推论6设则