例谈二项式定理的应用

刘立强 杜红全

(1.甘肃省康县第一中学 746500；2.甘肃省康县教育局教研室 746500)

一、用于求展开式中的特定项或系数

(1)求展开式中的有理项；

(2)求展开式中的有理项的二项式系数；

(3)求展开式中的有理项的系数.

例2(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).

A.56 B.84 C.112 D.168

点评解此问题的关键是求(1+x)8的展开式中x2的系数与(1+y)4的展开式中y2的系数的积.若是求一个三项式的系数问题，则应利用公式把三项转化为二项(可因式分解)或把两项看成一项，然后利用二项式定理展开求解.

二、用于求二项式定理中的相关元素

三、用于确定展开式中系数最大项

解析由题意，得22n-2n=992.即(2n-32)(2n+31)=0.所以2n=32，解得n=5.

设第r+1项的系数的绝对值最大.

因为r∈Z，所以r=3.

点评(1)解决此类问题的关键是要区分“二项式系数最大的项”“系数最大的项”“系数的绝对值最大的项”这三个不同的概念，“二项式系数最大的项”一定是中间项，而“系数最大的项”“系数的绝对值最大的项”不一定居中.

(3)二项展开式中有四个特殊项，即常数项、有理项、二项式系数最大项、系数最大项，要掌握它们的求法.

四、用于求展开式中各项系数的和

例5 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求

(1)a1+a2+…+a7；

(2)a1+a3+a5+a7；

(3)a0+a2+a4+a6；

(4)a2+a5.

解析(1)令x=0，则a0=-1.

令x=1，则a7+a6+…+a1+a0=27=128.

①

所以a1+a2+…+a7=129.

(2)令x=-1，则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7.

②

点评本题的解法是赋值法，这是一种重要的方法，它适用于恒等式.对展开式的系数和的求解，一般采用赋值法，赋值的选择要根据展开式系数和特征灵活赋值，通常令x=0，1，-1.

五、用于证明组合数恒等式

点评解此问题的关键是结合二项式定理，注意观察数列1,2,22，…，2n的规律性，令二项展开式中a=1，b=2，联想二项式定理展开……