横看成岭侧成峰 远近高低各不同
——2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析

章显联

(浙江省绍兴鲁迅高级中学 312000)

一、典型考题

例1(2020年浙江第19题)如图1，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．

(1)证明：EF⊥DB；

(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

图1

本题主要考查空间直线互相垂直的判定和性质，以及直线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思维能力，平面与空间互相转化能力，几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强的中档题．笔者认为此题无论是试题难度、试题背景、命题立意，还是对数学核心素养的考查，都很到位,可谓简约不简单.它也是一道解题训练的优质题，横看成岭侧成峰，很有研究价值.

解法1非坐标形式的向量法(基底法)

由公式,得

解法2三余弦定理法

过点D作DO⊥AC于点O，由已知，得O在平面DBC的射影H在∠DCB的角平分线上,设直线DF与平面DBC所成角为θ，由已知，得OC与平面DBC所成角也为θ.

解法3等体积法.

过点D作DO⊥AC于点O，设直线DF与平面DBC所成角为θ，由已知，得OC与平面DBC所成角也为θ.

解法4坐标形式的向量法

解法5纯几何法

分析(1)题根据已知条件，作DH⊥AC，根据面面垂直，可得DH⊥BC，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC是直角三角形，且∠HBC=90°，则HB⊥BC，从而可证出BC⊥面DHB，最后根据棱台的定义有EF∥BC，根据平行线的性质可得EF⊥DB.

图2

二、考题赏析

坐标形式的向量法可以看作是非坐标形式的向量法的一种特殊情形.

解法2中O在平面DBC的射影H在∠DCB的角平分线上，利用三余弦定理可求出OC与平面DBC所成角.

图3

三余弦定理(最小角定理或爪子定理)设点A为平面α上一点，过点A的斜线在平面α上的射……