一种基于VG模型的变形土进气吸力值预测方法

陶高梁，罗晨晨，李丽华，李 奕，李梓月

（1.湖北工业大学 土木建筑与环境学院，武汉 430068；2.武昌理工学院 城建学院，武汉 430223）

1 研究背景

土-水特征曲线（SWCC）是揭示基质吸力与含水率之间关系的曲线，也可以用基质吸力与饱和度之间关系的形式表示，是进行非饱和土土力学理论研究及工程应用的基础。对土-水特征曲线产生影响的因素［1-4］有很多，如土的颗粒构成、孔隙的大小、形状分布、孔隙比、应力状态等。对于同一种土，尤其以土体变形对土-水特征曲线造成的影响较大，变形导致土体内部孔隙的变化，进而影响失水速率。因此，对变形土进行相关的土-水特征曲线的研究对非饱和土理论研究有十分重大的意义。进气吸力值（air-entry value）是土-水特征曲线上的一个临界点，土体内最大孔隙难以抗拒施加的吸力进而发生失水［5］，此时施加的基质吸力即为进气吸力值。进气吸力值的确定对非饱和土土-水特征曲线、渗透特性的研究以及相关的工程实际应用都具有十分重要的意义［6］。因此，对变形条件下土体进气吸力值进行预测是一项非常重要的任务。

目前对于进气吸力值的相关研究，前人已作了大量工作。Fallow等［7］提出了一种直接测量的方法，用来测量进气吸力值和初始压力水头，推动了进气吸力值相关试验测量的研究进展；Tinjum等［8］对24个压实黏土样进行分析，总结出了一个VG模型参数a与进气吸力值的经验关系方程，进而预测进气吸力值；Vanapalli等［9］用计算作图法对进气吸力值和残余含水率进行了预测；Zhou等［10］在研究影响土-水特征曲线的相关因素中，对初始孔隙比和进气吸力值的关系建立了相关拟合公式；Xu和Xia［11］采用分形理论建立了土-水特征曲线模型和相对渗透系数模型，并用该模型拟合出了进气吸力值；Nuth等［12］在探究变形土的土-水特征曲线时，发现了进气吸力值与孔隙比之间存在反比关系，并提出了一个进气吸力值与净应力之间的关系方程；Zhai和Rahardjo［13］在确定土-水特征曲线的有关变量时，分别采用2种作图计算方法推导出了进气吸力值的理论公式，并采用试验数据验证了该公式；Wijaya等［14］在研究土体收缩时，发现土体干燥收缩时表现出不同的进气吸力值，并确定了一种方法求出收缩曲线的进气吸力值；Zhou等［15］在Xu和Xia［11］分形理论的基础上提出了变形条件下孔隙率、孔隙半径、分维数三者的关系方程，可以预测变形土体进气吸力值；陶高梁等［16-17］结合孔隙分布变化规律与毛细理论提出了不同初始孔隙比土体进气吸力值的预测方法。

目前，在土体进气吸力值的相关研究方面，尚未统一出一种较好的预测变形土进气吸力值的方法，在进气吸力值的应用方面，以利用土-水特征曲线分形模型的公式拟合为主，因模型含有分维数，所以需先求出变形前土体分维数。本文为了研究变形条件下非饱和黏性土进气吸力值的变化规律，利用VG模型对变形前的土体土-水特征曲线进行拟合，得出VG模型拟合参数，根据a与进气吸力值ψa的已有函数关系，得出初始孔隙比条件下的进气吸力值，结合压缩变形条件下土体土-水特征曲线变化规律建立了变形条件下土体进气吸力值预测模型，采用该模型预测不同初始孔隙比条件下土体进气吸力值，并与已有预测方法进行对比与讨论，进而验证该模型的合理性。该预测模型提供了一种理论预测变形土进气吸力值的新方案，为后续的相关研究提供了一种新方法。

2 变形土进气吸力值预测方法

2.1 预测模型

VG模型由美国学者Van Genuchten［18］于1980年提出，其表达式为

式中：w为质量含水率；wr为残余质量含水率；ws为饱和质量含水率；a表示与进气吸力值有关的参数（kPa-1）；n与土体的孔隙分布有关；m与土-水特征曲线的整体对称性有关；ψ为基质吸力。该模型的吸力范围更广，能更加有效地表征全负压范围内的土-水特征曲线，拟合效果良好。

文献［19］依据VG模型，给出了a与进气吸力值ψa之间的反比关系，即

采用该式可计算变形前土体土-水特征曲线进气吸力值。

采用文献［20］的结论，压缩变形条件下，不同初始孔隙比条件下的高基质吸力阶段土-水特征曲线数据视为不变。当变形后土体初始孔隙比变为e1时（e0＞e1），假设进气吸力值为ψa1，作水平线w＝e1/Gs（Gs指土粒相对密度），与变形前e0时的土-水特征曲线的交点横坐标便可近似认为是e1时的进气吸力值ψa1，如图1所示。

图1 不同初始孔隙比条件下以质量含水率表示的土-水特征曲线Fig.1 Soil-water characteristic curves at different initial void ratios expressed by gravimetric water content

结合式（1）与w＝e1/Gs，可得

因e1、wr、Gs、ws为已知数，故令

对式（3）进行简单变形可得到

式中k为仅与初始孔隙比相关的变量，其他参数均能依据变形前土-水特征曲线拟合得到，根据式（5）可预测不同初始孔隙比土体的进气吸力值。

2.2 预测方法计算要点

该预测模型结合VG模型与压缩变形条件下土-水特征曲线变化规律进行推导，在已知变形前土体土-水特征曲线的条件下，预测变形后的土体进气吸力值。首先利用VG模型对变形前的土体土-水特征曲线进行拟合，得出VG模型的拟合参数，结合式（1）与w＝e1/Gs，令等式右边的倒数为k值，计算出相应的k值，k值只随孔隙比的变化而变化，进而根据式（5）预测变形后的土体进气吸力值。变形前土体进气吸力值可以利用拟合参数a与进气吸力值ψa之间的反比关系得出。

3 已有进气吸力值预测方法

已有文献中提出了3种预测模型预测变形土进气吸力值，这些模型大多基于分形理论与土-水特征曲线模型。在这一节，对这些模型的表达式做了简要的阐述。

3.1 方法1

结合毛细理论，文献［21］根据孔隙率模型推导了以质量含水率表示的土-水特征曲线模型，并进一步推导出了预测进气吸力值的公式，其表达式为

式中：ψa为变形前的土体进气吸力值；e1为变形后土体孔隙比；e0为初始孔隙比；D0为变形前土体分形维数。

3.2 方法2

文献［15］中假设分形维数与孔隙率无关，孔隙率的改变仅改变孔隙半径在方程中的值，结合Capillary理论推导出了一种变形土进气吸力值预测模型，其表达式为

式中：φ为变形前土体孔隙率；φ′为变形后土体孔隙率；E为欧几里德维数，本文取3。

已知φ＝e0/（1＋e0），φ′＝e1/（1＋e1），故式（6）与式（7）变形后的表达式一致，且相关参数求解也一致，可看作同一种进气吸力值预测方法。

3.3 方法3

文献［17］以土-水特征曲线分形模型为理论基础，参照已有的第一种进气吸力值预测方法，推导出了新的变形土进气吸力值预测模型，即

上述变形土进气吸力值预测方法建立在分形理论的基础上，要点在于均需求出初始孔隙比e0的土体进气吸力值和分形维数，因此不仅要对土-水特征曲线试验数据进行拟合求出进气吸力值，还需进行线性拟合求解分形维数。

4 预测方法对比分析及验证

4.1 土-水特征曲线试验

以湖南红黏土［23］为研究对象，将其风干碾碎并过2 mm筛，土样的基本物理性质见表1，制备初始孔隙比分别为1.12、1.04、0.97、0.90、0.84、0.73的试样6个，土-水特征曲线试验数据采用压力板仪测量获得，不同初始孔隙比条件下土样的土-水特征曲线试验数据如表2所示。

表1 湖南黏土的基本物理性质Table 1 Basic physical properties of Hunan clay

表2 土-水特征曲线试验数据Table 2 Experimental data of SWCC

采用以质量含水率表示的土-水特征曲线分形模型对6种不同初始孔隙比土样的土-水特征曲线试验数据进行拟合，得出的进气吸力值如表3。

表3 不同初始孔隙比土样的进气吸力值Table 3 Air-entry values of soil samples with different initial void ratios

4.2 进气吸力值预测对比

采用4.1节试验数据，利用本文预测方法与已有预测方法预测进气吸力值，并与拟合值对比，如图2。上述3种已有文献进气吸力值预测方法的相同之处在于都需要求出变形前土体的进气吸力值及分形维数，且采用不同形式的土-水特征曲线模型进行拟合，而本文预测模型采用VG模型拟合出相关参数，进而求出变形后土体进气吸力值。

图2 不同预测方法的进气吸力值对比Fig.2 Comparison of air-entry values obtained by different prediction methods

利用本文的预测方法及已有文献方法对变形条件下湖南黏土进气吸力值进行预测，并与拟合得出的进气吸力值进行比较。图2表明，4种预测方法的进气吸力值变化趋势大体一致，进气吸力值随着初始孔隙比的减小而变大。初始孔隙比较大时，各预测方法与分析拟合值均较为接近，但当初始孔隙比较小时，本文方法预测结果更为接近拟合值。

4.3 进气吸力值的应用

4.3.1 非饱和渗透系数统一模型

文献［22］推导了Burdine模型、Mualem模型、陶-孔模型的分形形式。

（1）Burdine模型的分形形式为

（2）Mualem模型的分形形式为

（3）陶-孔模型的分形形式为

式中kr为相对渗透系数。

上述3种渗透系数分形模型的共同点为均由进气吸力值和基质吸力组成对应比例关系。根据土-水特征曲线的分形模型，以饱和度Sr表示的土-水特征曲线分形形式为

为得到非饱和相对渗透系数分形模型的统一形式，可以将式（12）（ψ≥ψa）代入上述3种非饱和相对渗透系数的分形形式（见表4），得到以饱和度形式表示的非饱和相对渗透系数统一模型，如式（13）。

式中β为常数。在Burdine模型中，β为3；在Mualem模型中，β为2.5；在陶-孔模型中，β为1。

表4 非饱和相对渗透系数统一模型Table 4 A unified model for relative permeability coefficient of unsaturated soils

在2.1节中提到的VG模型采用残余饱和度Se形式表示，如式（14）。

若将残余含水率对应的水分视作颗粒组成部分，可近似认为θr＝0，Se＝Sr，其中a、m、n均为拟合参数，将其代入统一模型式（13），可得到以VG模型为理论基础的非饱和相对渗透系数统一模型，即

4.3.2 渗透模型验证

针对上述模型，对不同初始孔隙比条件下湖南黏土的土-水特征曲线试验数据进行拟合，得出下列参数，见表5。变形条件下土体进气吸力值已于4.2节中求出，利用式（15）对非饱和相对渗透系数进行预测，非饱和渗透系数实测值来自文献［23］，3种渗透模型预测值与实测值对比见图3。

表5 不同初始孔隙比VG模型拟合参数Table 5 Fitting parameters of VG Model with different initial void ratios

图3 非饱和相对渗透系数预测值与实测值对比Fig. 3 Comparison of unsaturated relative permeabilitycoefficient between predicted and measured values

由图3可知，在预测效果对比上，以VG模型为理论基础的3种非饱和相对渗透系数模型预测存在一定的差异性，在统一模型中，模型参数 β分别为1、2.5、3时，预测值与实测值均吻合较好。

5 结 论

在已知初始孔隙比e0的土-水特征曲线试验数据条件下，预测不同初始孔隙比条件下土体的进气吸力值对于非饱和土的水力耦合分析、变形条件下土体渗流特性的研究等具有重要意义。本文提出了一种基于VG模型的变形土进气吸力值预测模型，通过压力板仪试验得出湖南黏土土-水特征曲线试验数据，拟合得出相关参数，并将其代入本文预测模型，与其它模型预测值和拟合值进行比较。本文预测值与拟合值吻合良好，在初始孔隙比较小时更接近拟合值。同时，本文还提出了非饱和相对渗透系数统一模型，将计算的进气吸力值应用于变形土的非饱和渗透系数预测，并将其与实测值对比，验证了该方法的合理性。