带有衰退记忆的非自治经典反应扩散方程在非线性边界下解的渐近性

梁玉婷,汪 璇

（西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070）

0 引 言

本文中, 在非线性边界条件下, 我们来讨论带有衰退记忆的非自治经典反应扩散方程解的渐近性态:

其中 Ω为 R3上带有光滑边界 Γ的有界域. 设外力项(平移有界), 且

其中 [·]表示h0(x,s+h)关于空间弱收敛拓扑的闭包. 如果h∈H(h0), 则

其中‖·‖表示L2(Ω) 范数.

方程中衰退记忆在能量耗散中的作用, 通过 ∆u(·)和记忆核函数k(·) 的线性卷积项来实现, 而且系统的能量耗散不仅受到现时外力的影响, 同时还受到历史外力的影响, 并且随着时间的推移, 历史外力的影响会越来越小.因此,设记忆核函数k(·)∈C2(R+),k(s)≥0,k′(s)≤0,k(∞)=0,∀s∈R+.

其中δ为正常数. 则方程 (1) 可转化为

相应的初值条件为

相应的边值条件为

其中u(·)满足下列条件: 存在正常数R1和, 使得

上式中λ1为−∆ 的第一特征根.

问题 (5) — (7)所包含的非线性项分为两类: 内部非线性项和边界非线性项. 设内部非线性项f为C1函数, 且满足: 存在正常数l, 使得

且

同时, 设边界非线性项g1,g2为C1函数, 且满足: 存在正常数m1和m2, 使得

且

其中q,r∈R, 且q>1,r>1.

进一步, 为了保证问题 (5)—(7)对应的动力系统为能量耗散系统, 假设内部非线性项和边界非线性项满足下列任意一个平衡条件 (B1) :

i)p+1>max{2q,2r};

ii) 当p+1=2q>2r时,;

iii) 当p+1=2r>2q时,;

iv) 当p+1=2q=2r>2 时,;

v) 当p+1=2q=2r=2 时,.

当k=0 时, 方程 (1) 转化为通常意义下的经典反应扩散方程, 近年来, 关于该方程解的渐近性态已经引起了许多学者的研究, 如文献[2-8]. 在非线性边界条件下, 文献[3-4]讨论了解的适定性和渐近性行为, 当内部非线性项和边界非线性项超临界增长且满足一定的平衡条件时, 杨璐等分别得到了……