解高维抛物型方程的显式差分格式

谷淑敏, 刘 佳

(郑州经贸学院 公共教学部，河南 郑州 450007)

0 引言

对二维和二维以上的抛物型方程, 文献[1-2]构造出了精度高且绝对稳定的差分格式,其截断误差阶达到O(Δt2+Δx4),却是三层隐式格式,常因计算量和存储量都很大而难以使用。对于高维的抛物型方程,构造能显式计算,稳定性能良好且精度较高的差分格式,便具有十分明显的理论意义和使用价值。文献[3]构造出了一类对如下的任何P维空间变量的抛物型方程

都适用的、分支绝对稳定的显式差分格式，其中R=0≤xj≤1,j=1,2,…，p,∂R为区域R的边界。这样避免了解线性代数方程组,大大减少了计算量,且格式绝对稳定，但不足的是格式的精度不高，对四维情形,用待定系数法构造高精度的差分格式,此时文中格式所用节点为 (j,k,l,p,n) 和菱形节点R◇(j,k,l,p,n), 其中R=x,y,z,w,x◇(j,k,l,p,n)={(j,k±1,l,p,n),(j,k,l±1,p,n),(j,k,l,p±1,n)}, 余者类推。矩形节点uv□(j,k,l,n),其中uv=xy,xz,xw,yz,yw,zw,xy□(j,k,l,p,n)={(j,k,l±1,p±1,n)},余者类推。圆形节点u⊙(j,k,l,p,n), 其中u=x,y,z,w,x⊙={(j,k±1,l±1,p±1,n)}, 余者类推。

1 差分格式的构造

考虑区域D:{0≤x,y,z,w≤1,0≤t≤T} 上的四维抛物型方程的第一边值问题

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

用时间步长τ, 空间步长h剖分D。节点 (xj,yk,zl,wp,tn) 记为 (j,k,l,p,n), 用如下的含参数差分方程逼近微分方程(1),

(7)

其中

当η3=0,η1=-1+64η4+24η7+24η8,η2=-12η4+6η7+6η8,η5=1+12η7+36η8,η6=-1+36η7+12η8时,令a=η4+3η8r,b=η7+η8,可得含参数a和b且截断误差为O(τ2+h4)的3层显格式

(8)

其中

2 截断误差阶估计与稳定性分析

与(8)式等价的两层方程组为

其特征方程为

λ2-M11λ-M12=0。

(9)

引理1[4]实系数二次方程Aλ2+Bλ+C=0(A>0) 的两根按模小于 1 的充要条件是

A-C≥0,A+B+C≥0,A-B+C≥0。

引理2[5]差分格式(8)稳定,即矩阵族Mn(s1,s2,s3)一致有界的充要条件是

1)|λ1,2|≤1,(λ1,2为传播矩阵特征根)；

其中N0(E(s1,s2,s3))表示多项式E(s1,s2,s3)在区域 [0,4]×[0,12]×[0,16] 上所有实根的集合。

证明当条件满足时, 式(9)的系数

A-C=1+M12=72b-4s1(-12a+6b+36br-r)-4as3>0，
A+B+C=1-M11-M12=12br(12s1+s3)>0，
A-B+C=1+M11-M12=4(1+12b-64a+96br-8r)>0。

综上所述,可知当定理条件满足时,差分格式(8)稳定。