高中数学知识与方法大梳理（四）

龙艳文

幂函数、指数函数、对数函数

类型一：幂函数的图象和性质

例如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）

[方法总结]

解决幂函数图象问题应把握的两个原则：

（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；

②在(1,+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）．

（2）依据图象确定幂指数α与0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y=x-1或或y=x3）来判断．

类型二：指数函数的定义域、值域、单调性的应用

例1（1）函数y=ax-2+1(a＞0 且a≠1)的图象过定点___________．

（2）函数y=2x+b的图象不经过第二象限，则实数b的取值范围是____________．

例2（1）不等式的解集是____________．

例3（1）解方程：4×4x-5×2x-6=0．

（3）已知9x-10 · 3x+9 ≤ 0，求函数y=a2x-ax+1（a>0 且a≠1）的最大值．

[方法总结]

方法：（1）指数方程与不等式问题关键是两边化同底．

（2）与指数函数有关的值域问题，

方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；

方法二：换元法．

注意：若底数为字母，则需考虑分类讨论．

例4已知函数

（1）证明：f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；（2）若f(x)为奇函数，求实数a的值．

类型三：对数函数定义域、值域、单调性应用

例1（1）当a＞0 且a≠1 时，函数y=1+logax的图象必定过定点____________．

（2）函数y=logax和的图象关于____________对称．

例2（1）求下列函数的定义域．

①y=；②y=

（2）方程log2x+log2(x-3)=2的解为_______________．

[方法总结]

方法：解对数不等式和方程关键两边化同底．

注意：考虑对数的定义域或最后检验．

化同底的方法：0=loga1；1=loga a=a0；M=logaaM=alogaM．

例3（1）已知函数则它的值域为____________．

（2）若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3 倍，求a的值．

（3）求函数f(x)=(log2x)2-2log2x+3,x∈[1,4]的值域．

[方法总结]

方法：与对……