对一道数学填空题多种解法的剖析

张伟

数学试题中的填空题，虽然题目简短，难度不大，但“小”题目实则内藏乾坤，蕴含着丰富的数学知识和思想.所以，同学们在做完一道题目后，一定要回过头去反思，通过转换思维的视角，从不同的角度去剖析、探究多种解题思路和方法，从小题目中挖掘出大智慧，从而提高数学思维能力和解题能力.下面，就一道填空题的多种解法进行剖析，看看小题目是如何彰显大智慧的.

【例题展现】

已知在△ABC中， AB=8，AC=10，∠ABC=90°.如果以AC为边，作正方形ACDE，如图1所示，那么S =________.

分析：本题是一道以正方形和直角三角形为载体的几何面积题，题目虽简短，易理解，但涉及多个知识点，思考空间较大，技巧性较强.认真思索一番，会发现，思维視角不同，其解法也各有差异，是一道值得深入探究的好题.

【解法探究】

面积法即结合已知条件，直接利用三角形面积公式求解.此题中，欲求△BCE的面积，需要知晓△BCE的高和底边长.不妨过点E作EG⊥BC，垂足交BC的延长线于点G，过点A作AH⊥BG，垂足为H，则四边形ABGH为矩形. 由勾股定理易知底边长BC的值.根据已知条件，易得△ABC≌△AHF，这样就可以求出高EG的值，再结合三角形面积公式即可轻松求出△BCE的面积.

解：如图2所示，过点E作EG⊥AB，垂足交BC的延长线于点G.过点A作AH⊥BG，垂足为H，则四边形ABGH为矩形.

在直角三角 形ABC中，AB=8，AC=10，

由勾股定理易得BC=6.

∵∠BAC+∠CAH= 90°，∠CAH+∠EAH=90°，

∴∠BAC=∠EAH.

又∵∠ABC=∠AHE=90°，AC=AE=10，

∴△ABC≌△AHF，

∴BC=HE=6，

而EG=GH+HE=8+6=14.

S=1/2BC·EG =1/2×6×14=42.

评注：此方法是解答三角形面积问题最为基本的方法，其求解关键在于得出所求目标三角形的高和底边长.

构造方程组法体现了方程思想，它是指通过设立某些参数，以此构造方程组，将问题实现转化，进而求出目标值.这是破解数学问题的有效方法之一.仔细分析此题题干和图形，不难看出，

评注：此解法设而不求，通过设参数，构造方程组，架起了连接已知量和未知量的桥梁，解题思路新颖独特.

坐标法是指通过建立平面直角坐标系，确立某些关键点的坐标以及直线的表达式，将几何问题代数化，进而达到使问题迎刃而解的目的.此题中，可以把直线CD看作x轴，直线AC看作y轴，由此建立平面直角坐标系解题.

解：把直线CD、AC分别看作x轴、y轴，建立平面直角坐标系，再过B点作BG⊥AC，垂足为G，如图4.

评注：坐标法是破解几何问题的一大重要法宝.它可以使几何问题代数化， 是数形结合思想的充分体现.

总之，在平时解题时，同学们不可忽视“小”题目，要注意从“小题” 着眼，多方思考和探索问题的多种解题途径，从中提炼出不同的解题技法，从而激活数学思维潜能，拓宽解题思路，丰富解题经验，提高解答数学问题的能力.