从一题多解探析三重积分的计算方法

赵金虎

（阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳，230637）

1 引言

三重积分是高等数学中的一个重点，也是很多学生考研复习中的一个难点，因此，三重积分的计算成了近年来高等数学教学研究的热点问题。贾建文探讨了直角坐标系下三重积分的计算技巧，用不等式组的方法列出了三重积分化为累次积分的公式。[1]郑华盛介绍了三重积分交换积分次序的普适方法，并通过实例和应用验证了有效性。[2]蒋银山讨论了三重积分的几种计算方法，包括先一后二法、先二后一法、柱面坐标法、球面坐标法、积分区域的对称性与被积函数的奇偶性等。[3]吕中学通过实例检验了各种类型的空间体中三重积分的计算方法。[4]孟飞将二重积分在极坐标系下积分顺序的交换方法推广到了三重积分的球面坐标计算中。[5]井晨睿等对比研究了不同坐标系下三重积分的计算方法，根据被积函数以及积分区域的特点，提出了选取坐标系的方法[6]。曹秀梅、吴自库总结和推广了三重积分中“先二后一”的计算方法，通过例题拓展了计算技巧。[7]赵小艳和李继成通过例子详细说明了如何选取适当的方法计算三重积分，对于如何确定不同坐标系下的积分上下限进行了区分和总结。[8]刘菊青分析了三重积分在直角坐标系下的截面法，从理论上解决了三重积分计算的抽象性和合理性。[9]方汶铭指出变量置换是三重积分在柱（球）面坐标系中计算的本质，并讨论了不同坐标系中若干变形的处理方法。……