虚数产生定理及其应用

王海东

【摘要】从虚数定义可以推出虚数产生定理.从虚数产生定理可以推出负实数开方定理.从虚数产生定理和负实数开方定理可以推出复数表示定理.从复数表示定理可以推出伪实数公式.伪实数公式在复数运算中具有两个重要作用：第一个重要作用是把复数公式改写成实数公式，第二个重要作用是把實数公式还原为复数公式.

【关键词】虚数产生定理;负实数开方定理;复数表示定理;伪实数公式

从数学发展史的角度来看，实数的出现不难理解.因为，实数包括有理数和无理数.人类并非一开始就认识到了有理数和无理数的存在.这一认识是在人类从自然数到整数、从整数到分数、从分数到小数的认识过程中逐渐形成的.

与实数的出现相比，虚数的出现却显得有些难于理解.虽然虚数的出现推动了数学的发展，但是虚数的来源却变成了数学的破绽.虚数是怎么出现在实数旁边的？为什么除了实数之外还有虚数？如果不承认虚数的存在，实数是否可以独自存在下去？在这个问题上，从未有人用数学定理给出一个令人信服的答案.

为什么会出现这种情况呢？是因为人类不具备回答这个问题的数学能力吗？不是.自从产生这个问题以来，人类已经涌现出了无数个才华出众的数学家.这些数学家完全具备回答这个问题的数学能力.他们之所以没有使这个问题得到回答，是因为他们没有把这个问题当成一个必须回答的问题，他们之所以没有把这个问题当成一个必须回答的问题，是因为他们没有充分认识到回答这个问题的重要性.

那么，回答这个问题究竟具有什么重要性呢？显然，回答这个问题的重要性在于：它不仅可以使我们对虚数的出现做出合理解释，而且可以使我们对复数的构成做出合理解释.复数是由两个与虚数具有不同关系的实数构成的.其中，一个实数与虚数具有加法关系，一个实数与虚数具有乘法关系.前者被定义为复数的实部，后者被定义为复数的虚部.复数就等于实部与虚部的代数和.从复数的构成来看，早在某个复数出现之前，构成这个复数的两个实数就已经出现了，这两个实数与虚数的不同关系就已经形成了.

由此可见，复数不是一个可以随意构成的数学概念.复数的构成体现着某种已经形成的数学关系.这种数学关系仅仅适用于两个相互对应的实数.这两个相互对应的实数就是虚数的产生原因和存在条件.离开了这两个相互对应的实数，体现这种数学关系的复数就不复存在了.

由于复数不是一个可以随意构成的数学概念，所以我们必须对复数的构成做出合理解释.如果我们不能对复数的构成做出合理解释，我们就不能形成一个正确的复数概念.如果我们不能形成一个正确的复数概念，我们就不能形成正确的复数运算方法.如果我们不能形成正确的复数运算方法，我们就不能正确解决各种复数运算问题.

那么，怎样才能对复数的构成做出合理解释呢？显然，要想对复数的构成做出合理解释，就必须对虚数的出现做出合理解释.因为复数的构成是由虚数的出现所决定的.没有虚数的出现就不会有复数的构成.例如，黎曼猜想就是用复数形式表述出来的.要想解决黎曼猜想的证明问题，就必须揭开黎曼猜想的复数之谜.所谓黎曼猜想的复数之谜，就是黎曼猜想的复数构成之谜.要想揭开黎曼猜想的复数之谜，就必须揭开黎曼猜想的虚数之谜.所谓黎曼猜想的虚数之谜，就是黎曼猜想的虚数出现之谜.

说到这里，我们不能不为第一个发现虚数的数学家感到遗憾.因为他的发现并不彻底.虽然他发现了虚数的存在，但是他没有发现虚数的来源.由于他的发现并不彻底，所以他并没有回答自己遇到的所有问题.由于他并没有回答自己遇到的所有问题，所以他在回答了一个问题的同时又留下了一个有待回答的问题.

下面，我们就来回答这个有待回答的问题.

从虚数定义来看，虚数是从负实数的开方运算中产生出来的.只要必须进行负实数的开方运算，就一定会在运算过程中产生一个虚数.因此，我们可以从虚数定义中推出一个十分重要的数学定理：所有负实数的开方运算都会产生一个虚数.这个数学定理就是虚数产生定理.

令-x代表任意负实数，y代表负实数的开方，i代表虚数单位，我们可以用数学归纳法证明虚数产生定理.

第一步，假定-x=-1.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-1=i.

第二步，假定-x=-n且0

y=-n=-1×n=-1×n=in.

第三步，假定-x=-n+m且m≥1.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-（n+m）=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m.

因为上述三个公式覆盖了所有负实数，所以我们可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix.

证毕.

虚数产生定理将虚数的产生原因归结于负实数开方.虽然这个结论已经给出了上述问题的答案.但是这个答案又向我们提出了一个新的问题：负实数开方又是怎样形成的呢？为什么必须进行负实数的开方运算呢？如果这个新的问题得不到回答，已经给出的答案就会使人产生疑虑.

从虚数产生定理来看，负实数开方来源于绝对值相同的正负实数的乘积.只要绝对值相同的正负实数可以相乘，就一定会产生负实数的开方运算.因此，我们可以从虚数产生定理中推出一个十分重要的数学定理：任何绝对值相同的正负实数相乘都会产生负实数开方.这个数学定理就是负实数开方定理.

令y和-x含义不变，我们可以用以下方法证明负实数开方定理：

已知

y=-x

又知

y2=-x

因此x=-y2=y×（-y）

证毕.

从平面直角坐标系来看，负实数开方定理的几何表示就是：某个围绕原点任意旋转的向量，在旋转到x从正数变为负数的时候，或者从y为正数的位置旋转到y为负数的位置，或者从y为负数的位置旋转到y为正数的位置，并把这个旋转过程用绝对值相同的正负实数的乘积表现出来.

从负实数开方定理的几何表示来看，虚数产生定理的几何表示就是：先把发生在左平面的负实数开方用出现在右平面的虚数表现出来，再把用虚数构造出来的某个复平面从右平面扩展到左平面.

从虚数产生定理的几何表示来看，上述问題的最终答案就是：虚数不仅来源于负实数的开方运算，而且来源于某个向量的旋转过程.因为只有在某个向量的旋转过程中，才能产生绝对值相同的正负实数相乘的现象.只有产生绝对值相同的正负实数相乘的现象，才能产生负实数的开方运算.

由此可见，虚数产生定理和负实数开方定理不仅是两个十分重要的数学定理，而且是两个具有内在联系的数学定理.只有把这两个数学定理的内在联系充分展现出来，我们才能对虚数的出现做出合理解释.

但是，我们的收获不止如此.因为，我们不仅已经看到了虚数产生定理和负实数开方定理的内在联系，而且可以通过这两个定理的证明过程分别找到两个十分重要的数学公式.

我们通过虚数产生定理的证明过程找到的数学公式是：

y=ix

我们通过负实数开方定理的证明过程找到的数学公式是：

y=-xy

把这两个数学公式联系起来，我们可以推出一个十分重要的数学公式：

ix=-xy

从这个数学公式中，我们又可以推出一个十分重要的数学公式：

iy=-xx

这个数学公式表明：当x等于零时，y就肯定会等于零.但是，x不可能等于零.x等于零意味着分母等于零，分母等于零意味着分数无意义.由于x不可能等于零，所以y也不可能等于零.因此，纯虚数是一个并不存在的虚数.人们使用纯虚数进行复数运算的唯一理由，就是可以通过复数运算将它还原为一个早已存在的虚数.

这个数学公式还表明：某个复数的实部和虚部既不可能同时等于零，也不可能一个等于零另一个不等于零.零复数不是来源于等于零的实部和虚部，而是来源于不等于零的实部和虚部.如果某个复数不具有这样的性质，这个复数就会违背虚数产生定理和负实数开方定理，构成这个复数的两个实数就变成两个不存在复数关系的实数了.从这一点来看，我们只能在平面直角坐标系的四个象限之内寻找复数的几何表示，不能在平面直角坐标系的两条坐标轴上寻找复数的几何表示.这是复数与实数的一个重要区别.

由于这个数学公式对复数的构成做出了合理解释，所以我们可以从这个数学公式中推出一个十分重要的数学定理：任何一个复数的虚部都可以用这个复数的实部表示出来.这个数学定理就是复数表示定理.

令z代表复数，我们可以用以下方法来证明复数表示定理：

已知

z=x+iy

又知

iy=-xx

因此

z=x-xx=x1-1x

证毕.

令x=rcos θ，y=rsin θ，我们可以把复数表示定理应用到复数的三角函数表达式：

z=rcos θ+isin θ=rcos θ1-1rcos θ.

令z=reiθ，i=-xyx，我们还可以把复数表示定理应用到复数的指数函数表达式：

z=reiθ=re-xθyx.

不过，我们在应用复数表示定理的时候必须注意：虽然任何一种复数公式都可以改写成实数公式，但是改写出来的实数公式却又与众不同.当x>0时，这种实数公式不会通过开方运算产生虚数.当x<0时，这种实数公式将会通过开方运算产生虚数.因此，这种实数公式具有两个不同定义域.一个定义域属于实数定义域，另一个定义域属于复数定义域.实数定义域为x>0，复数定义域为x<0.由于这种实数公式具有两个不同定义域，所以我们不能将这种实数公式视为真实数公式，只能将这种实数公式视为伪实数公式.所谓伪实数公式，就是既有实数定义域又有复数定义域的实数公式.

伪实数公式在复数运算中具有两个重要作用：第一个重要作用是把复数公式改写成实数公式，第二个重要作用是把实数公式还原为复数公式.从第一个重要作用来看，伪实数公式通过实数定义域重新定义了复数运算的实轴，用位于纵轴右侧的横轴表示复数运算的实轴.从第二个重要作用来看，伪实数公式通过复数定义域重新定义了复数运算的虚轴，用位于纵轴左侧的横轴表示复数运算的虚轴.这样一来，伪实数公式就通过两个不同定义域重新定义了复数运算的横轴和纵轴，把复数运算的横轴从实轴变成实轴和虚轴的对称轴，把复数运算的纵轴从虚轴变成了实轴和虚轴的变换轴.

由于伪实数公式通过两个不同定义域重新定义了复数运算的横轴和纵轴，所以伪实数公式也通过两个不同定义域重新定义了复数运算的平面直角坐标系.这个平面直角坐标系的右平面是一个实平面.这个平面直角坐标系的左平面是一个复平面.这个平面直角坐标系的全平面是一个实平面和复平面的变换平面.利用这个实平面和复平面的变换平面，我们不仅可以拓展各种复变函数的几何表示方法，而且可以解决许多以前不能解决的复数运算问题.

【参考文献】

[1]王元.数学大辞典（第二版）[M].北京：科学出版社，2017.

[2]深圳大学复变函数与场论教研组.复变函数与场论简明教程[M].西安：西安电子科技大学出版社，2012.