罗尔定理的线上教法分析

罗庆仙 龙能

【摘要】 罗尔定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的预备定理，在实际应用和中值定理的证明中有着重要的意义.本文通过对罗尔定理的线上教法的分析，培养学生的分析能力、知识迁移能力、数形结合的思想以及运用知识解决问题的能力.同时，学生还要掌握构造辅助函数和利用中值证明等式的方法，为后面中值定理的学习打下扎实的理论基础.

【关键词】罗尔定理;线上;教法;分析

【基金项目】广东茂名幼儿师范专科学校2020年度教育科学“十三五”规划课题——新版课程标准和教资国考背景下的《小学数学课程与教学》的课程设计与教材建设（2020GMYSKT02）

一、引 言

微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理，它们是我们讨论怎样由导数f′（x）的已知性质来推断函数f（x）所应具有的性质的有效工具，也是数学分析中的重要内容.这部分内容理论性比较强，特别是定理的应用.因此，它们成为教师的一个教学难点.然而，大专院校的学生按来源基本上分为以下三大类：一是高考，二是3+证书，三是学业水平考试，所以他们的数学基础比较差、理解能力比较弱、自学能力也相对比较差，这无疑增加了教学的难度.在中值定理的教学过程中，首先要让学生充分理解罗尔定理，并掌握相应的数学方法，这样才能够以罗尔定理为基础，通过构造满足罗尔定理三个条件的辅助函数，证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

二、温故知新

在讲罗尔定理之前，我们先复习极值的概念和费马定理，为接下来证明罗尔定理做铺垫，同时加深学生对这些知识点的理解.

（极值的概念） 设函数f（x）在区间I有定义.若x0∈I，且存在x0的某邻域U（x0）I，x∈U（x0），有

f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0）），

则称x0是函数f（x）的极大点（极小点），f（x0）是函数f（x）的极大值（极小值）.

注：

①极大点和极小点统称极值点，极大值和极小值统称极值;

②极值点必属于区间I的内部;

③极值是一个局部概念;

④若函数f（x）在区间I内部某点x0取最值，则x0必为极值点.

（费马定理） 设函数f（x）在区间I有定义.若函数f（x）在x0可导，且x0是函数f（x）的极值点，则

f′（x0）=0.

三、定理讲解

先简单介绍罗尔定理的条件和结论，再详细分析每一个条件的几何意义，得出结论的几何意义，接着举例子分析缺少一个或三个罗尔定理条件，结论是否仍然成立，最后证明罗尔定理！

1.罗尔定理及其几何意义.

（罗尔定理） 设函数f（x）在区间[a，b]上满足下列条件：

（1）在闭区间[a，b]上连续;

（2）在开区间（a，b）内可导;

（3）f（a）=f（b）.

则在（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=0.

罗尔定理的条件及结论

罗尔定理的几何意义

（1）在闭区间[a，b]上连续

在闭区间[a，b]上有连续曲线

（2）在开区间（a，b）内可导

曲线上每一点都存在切线

（3）f（a）=f（b）

曲线两个端点的高度相等

则在（a，b）内至少存在一点c，使f′（c）=0

则至少存在一条水平切线

2.罗尔定理的条件分析

定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成立，如下列例子：

（1）如图2，是函数f（x）=x，0≤x<1，0，x=1的图像，

在[0，1]上满足条件（2）和（3），但是条件（1）不满足，该函数在0，1上的导数恒为1.

图2 函数图像

（2）如图3，是函数f（x）=|x|，x∈[-1，1]的圖像，

满足条件（1）和（3），但是条件（2）却遭到破坏（f（x）在x=0处不可导），结论也不成立.

（3）如图4，是函数f（x）=x，x∈[0，1]的图像，

满足条件（1）和（2），但是条件（3）却遭到破坏，该函数在0，1上的导数恒为1.

（4）又如

f（x）=0，-2≤x≤-1，x2，|x|<1，1，1≤x≤2，

在[-2，2]上不连续，在（-2，2）内不可导，且f（2）≠f（-2），即三个条件都不满足，但存在一点ξ=0∈（-2，2），使得f′（0）=0.这说明罗尔定理的三个条件是充分条件，而不是必要条件.

3.罗尔定理的证明

思路：引导学生由函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，可以知道函数f（x）在闭区间[a，b]上取得最大值M和最小值m.接着提问学生最大值和最小值有没有可能相等？引导学生分为m=M和m≠M两种情况讨论，对于m≠M的情况，运用数形结合的方法引导学生知道至少有一个最值在区间内取值，然后再提问学生区间内的最值与极值之间的关系，进而引导学生用费马定理去证明.用费马定理证明时，先把它的条件和结论写出来，对照着写过程.罗尔定理的证明方法是分类讨论，然后利用费马定理来证明的，下面我们来证明罗尔定理.

证明 （1）若m=M，则f（x）在[a，b]上必为常数，它的导数恒为零，此时可在（a，b）内任意取一点c，有f′（c）=0.

（2）若m≠M，则由f（a）=f（b）知，最大值与最小值至少有一个不在端点处取得.如果最大值不在端点处取得，那么存在c∈（a，b），使得f（c）=M.因为在区间内部取得的最大值一定是极大值，所以由费马定理得f′（c）=0.

综上所述，定理得证.

四、应用举例，深入理解定理

用罗尔定理解决方程根的存在性问题，得到了证明方程的根的存在性问题的另一种方法的步骤.要提醒学生注意讨论的是f′（x）=0的根的存在性还是f（x）=0的根的存在性，而且只能够证明至少有一个根.

利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式，总结出证明此类型等式的一般方法.

例1 已知函数f（x）=（x-1）（x-2），试判断方程f′（x）=0有几个根，并指出根的所在区间.（用罗尔定理判断）

分析 依题意可知f（x）=0是二次方程，有两个不相等的实根，f′（x）=0是一次方程，至多有1个实根.用罗尔定理来证明f′（x）=0有几个根，即要判断f（x）满足罗尔定理的条件，但是题目并没有给出验证罗尔定理的区间，因此需要找出区间.而3个条件中，f（a）=f（b）是找出区间[a，b]的突破点，所以令f（x）=0求得区间是（1，2）.

解 因为f（1）=f（2），且f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，由罗尔定理得，至少存在一点c∈（1，2），使得f′（c）=0.又因为f′（x）=0是一次方程，至多有1个实根，故f′（x）=0有1个实根，位于（1，2）内.

例2 用罗尔定理证明：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内有实根.

分析 依题意令f′（x）=3ax2+2bx-（a+b），因此我们需要通过导数公式表来找出f（x）的解析式，然后验证f（x）在（0，1）内满足罗尔定理.

证明 设辅助函数

F（x）=ax3+bx2-（a+b）x，

则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0，由罗尔定理知，至少存在一点c∈（0，1），使F′（c）=0，又因为F′（x）=3ax2+2bx-（a+b），所以有3ac2+2bc-（a+b）=0，即方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内有实根.

例3 设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，求证存在ξ∈（0，1），使

f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0.

分析 由题可知，函数f（x）在[0，1]上滿足罗尔定理的条件（1）和（2），需要证明的结论是f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0，即要证明某个函数的一阶导数的方程等于零.把ξ改为x，由f′（x），f（x），sin x和cos x联想到两个函数相乘的导数，从而知道需要构造的函数为F（x）=f（x）sin x.

证明 设辅助函数为

F（x）=f（x）sin x，

则F′（x）=f′（x）sin x+f（x）cos x，显然函数F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），

使得F′（ξ）=f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0.

练习：设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=-f（ξ）ξ.

分析 由题可知，函数f（x）在[0，1]上满足罗尔定理的条件（1）和（2），需要证明的结论是f′（ξ）=-f（ξ）ξ.但是等号右边并不为零，所以需要把式子整理变形，使得等号右边为零，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，把ξ改为x，由f′（x），f（x），x和1联想到两个函数相乘的导数，从而知道需要构造的函数为F（x）=xf（x）.

证明 设辅助函数为F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x），显然函数F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），使得

F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ），

即f′（ξ）=-f（ξ）ξ.

小结：

1.罗尔定理的三个条件是充分的，不是必要的，缺少一个条件，结论不一定成立.

2.罗尔定理的应用及步骤.

（1）利用罗尔定理证明方程的根.

（ⅰ）判别方程f′（x）=0是否有根.验证f（x）满足罗尔定理的条件，在证明过程中要注意区间的选取，通常是从f（a）=f（b）中寻找区间（如例1）.

（ⅱ）应用罗尔定理讨论方程的根.首先要构造一个函数，使得构造后的函数的导数是结论中的函数（如例2）.

（2）利用罗尔定理证明含“中值点”的等式.首先改写中值等式，将所有项移到一侧，把等号右边变为零（若等号右边为零则不需要改写）;其次令表达式中的中值为变量x，并构造辅助函数.最后验证辅助函数满足罗尔定理的条件，得出结论.证明形如：f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=0的结论，可构造函数F（x）=f（x）g（x）.

拓展练习：

考虑到有部分学生需要专升本，因此我们在教学上还需要增加一些拓展的习题，让有兴趣的学生自行完成.

1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.

2.证明：函数

f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）

在区间（1，3）内至少存在一点ξ，使f″（ξ）=0.

3.证明：方程x3-3x+c=0在区间（0，1）内没有两个不同的实根（提示：用反证法）.

五、总 结

“罗尔定理”是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的预备定理，也是数学分析内容中学习难度比较大的一部分.因此，在进行线上教学时，教师要认真备课，提高自己的教学水平，同时对自己的上课方式也要进行适当的调整，比如：教师在教学方式上要以连麦提问的教学形式，鼓励学生积极思考，发挥学生的主体作用;在课堂上让学生把做好的题目写好拍照发到钉钉群里，对于重点、难点要板书给学生讲解，做到以讲练结合的方法，调动学生的积极性，使课堂气氛更加活跃;在教学手段上，教师需采用多元化的教学手段，将板书、课件相结合;在教学模式上，教师应采取屏幕和摄像头切换的线上教学模式，多让学生独立思考，提高学生的数学思维能力.

【参考文献】

[1]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

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[4]赵彦军，姜淑珍.谈数学分析中辅助函数的构造[J].数学学习与研究：教研版，2014（23）：69-70.

[5]李双安，陈凤华，赵艳伟.拉格朗日中值定理教法研究[J].数学学习与研究：教研版，2016（09）：29，31.