巧用欧拉变换求一类函数的值域

王贤

【摘要】求函数值域是高考考查的内容之一，不同类型函数的值域求法也不尽相同，同一函数的值域也往往存在多种求法.针对求解某些带根式型函数的值域，采用欧拉变换法往往能够化繁为简，取得事半功倍的效果.

【关键词】欧拉变换;函数值域;通性通法

一、欧拉变换的介绍

在中学数学教材和教辅资料中，几乎没有见到关于欧拉变换的介绍.在高等数学中常通过欧拉变换将求无理函数的不定积分化为求有理函数的不定积分.

一般地，二次三项式ax2+bx+c中，若a>0，则可令ax2+bx+c=t±ax;若c>0，还可令ax2+bx+c=xt±c.这类变换称为欧拉变换.

通过欧拉变换，能够将某些无理式转化为有理式，从而给运算带来方便，下面举例予以介绍.

二、用欧拉变换求函数值域四例

例1 求函数y=2x2+2+x的值域.

这是一道陈题，也是一道“网红”题，笔者所了解的方法就有近十种，常见的有判别式法、导数法、不等式法，以及三角换元法等.下面我们采用欧拉变换法求此函数的值域.

分析 令x2+2=x+t，将x表示为t的表达式，进而将无理函数化为有理函数，结合基本不等式容易求得函数的值域.

解 令x2+2=x+t，解得x=2-t22t，

由x+t≥2得2+t22t-2≥0，解得t>0.

所以y=2x2+2+x=2+t2t+2-t22t=6+t22t=3t+t2（t>0），由基本不等式，得y≥6.

所以，函數的值域为[6，+∞）.

例2 （2019年温州摇篮杯）函数f（x）=x2-x+1-x的值域为.

这是2019年温州市摇篮杯高一数学竞赛填空题的第6题，求这道函数值域题的常见方法有反函数法、导数法，以及三角换元法，但若采用欧拉变换法，几乎可以做到“秒杀”.为巩固应用反函数法、导数法和三角换元法求函数值域，以及体现欧拉变换法在求解此函数值域时的快捷，下面将几种解法一一给出，以便比较.

解 （1）反函数法：设x10，从而f（x1）0，从而y>-12，原函数的值域为-12，+∞.

（2）导数法：y′=2x-12x2-x+1-1，易知y′<0，

又limx→+∞（x2-x+1-x）=limx→+∞-x+1x2-x+1+x=limx→+∞-1+1x1-1x+1x2+1=-12，而limx→-∞（x2-x+1-x）=+∞，从而知函数的值域为-12，+∞.

（3）三角换元法：将函数解析式变形为y=x-122+34-x，令x=32tan θ+12，θ∈-π2，π2.则y=32cos θ-3tan θ2-12，进一步变形有y=-32×sin θ-1cos θ-0-12，将sin θ-1cos θ-0看成是过点（cos θ，sin θ）与（0，1）的直线的斜率，结合图形易知y>-12，从而函数的值域为-12，+∞.

（4）欧拉变换法：令x2-x+1=x+t，解得x=1-t22t+1.因为x+t≥32，所以t>-12，从而y=x2-x+1-x=x+t-x=t.易知，函数的值域为-12，+∞.

可以发现，此题采用欧拉变换法求解，从计算量上讲比前三种方法要少，得到结果更快捷，但方法是初等的.下面我们再看一个更一般的例子，以便归纳用欧拉变换法求此类函数值域的一般步骤.

例3 求函数y=22x2+4x-3+3x-1的值域.

解 令2x2+4x-3=2x+t，解得x=t2+34-22t，易知函数的定义域为-∞，-1-102∪-1+102，+∞.因为2x2+4x-3≥0，所以2x+t≥0，即2t2-4t-3222t-4≥0，解得2-5≤t<2，或t≥2+5.从而有y=2（2x+t）

+3x-1=（22+3）x+2t-1，进一步整理有y=（3-22）t2+（8+22）t+5+624-22t.令m=4-22t，则t=4-m22，从而有y=38-24m+15+102m-4，且0

作为例3的变式，我们再看欧拉变换在求下列函数值域中的应用.

例4 求函数y=2x-5x2-2x-3的值域.

解 易知函数定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），令x2-2x-3=x+t，则x=-t2+32t+2.又因为x+t>0，即t2+2t-32t+2>0，所以-31.又2x-5=-t2+5t+8t+1，从而有y=2x-5x2-2x-3=-2（t2+5t+8）t2+2t-3=-2-2×3t+11t2+2t-3，令s=3t+11，则t=s-113，那么214.进一步化简整理有y=-2-18-16+s+28s，结合基本不等式容易求得y<-2，或y≥72.所以，函数的值域为（-∞，-2）∪72，+∞.

事实上，例4还可以继续变式为y=x2-2x-32x-5，值域求法完全同例4.

三、小 结

例3除了可以用欧拉变换法求函数值域外，还可以用导数法求解，导数法和欧拉变换法皆为通法.用欧拉变换法求例3函数的值域的计算量比用导数法稍微偏多，但导数法实际属于高等数学范畴，而用欧拉变换求此函数值域的方法完全是初等的.

对于求“y=pax2+bx+c+mx+n”（其中a，b，c，m，n和p为常数，且a>0）型函数的值域，导数法和欧拉变换法皆为通法.例1至例3都属于此函数类型，用欧拉变换法求此类函数值域的一般步骤为：（1）令ax2+bx+c=t±ax，或ax2+bx+c=xt±c（c>0），并求出x关于t的表达式以及相应的t的取值范围;（2）进一步化简整理，将函数表示为t的分式或整式形式;（3）结合基本不等式等，求出变换后函数的值域，从而得到原函数的值域.

事实上，例4还可以将函数变形为y=±4x2-20x+25x2-2x-3，进一步将4x2-20x+25x2-2x-3分离为4-12x-37x2-2x-3，令s=12x-37，结合相应s的取值范围，然后利用基本不等式可求出函数的值域.对于形如例4中的函数，欧拉变换法也为通法，读者可自行归纳用欧拉变换法求“y=mx+nax2+bx+c”以及“y=ax2+bx+cmx+n”（其中a，b，c，m和n为常数，且a>0）型函数值域的一般步骤.

对具体的函数而言，用欧拉变换法求函数的值域有时并不比其他方法计算量少，但对于求一类带根式函数的值域，欧拉变换法符合通性通法的要求，而且方法完全是初等的.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]刘彦永，卢军.一题一课 高中数学好题赏析[M].杭州：浙江大学出版社，2017.