一道考博试题引出的幂级数收敛域探讨

2021-02-22 07:20刘慧璋
数学学习与研究 2021年2期
关键词:幂级数分类讨论对比

刘慧璋

【摘要】本文从一道考博试题出发,对含有未知常数的幂级数的收敛域进行了分情况讨论,并对幂级数收敛半径的求解尝试了两种方法的对比.

【关键词】考博试题;幂级数;收敛域;分类讨论;对比

1 引言

对幂级数收敛域的探讨是一类典型问题.要探讨收敛域得先求解收敛半径,而收敛半径的求解通常有两种方法:系数模比值法和系数模根值法.这两种方法各有其适合的题型.有些题虽然两种方法皆可用,但对比发现,其中一种会更严密,更适合.本文就从一道考博试题出发,在系数含有未知常数需要分类讨论的情况下,详细地讨论收敛域的求解,并在收敛半径的求解上对两种方法进行对比.

2 试题与分析

求幂级数∑∞n=1ann+bnn2xn(a>0,b>0)的收敛域.

这是2019年某院校招收博士研究生微积分科目的一道试题.试题初看是一道普通的幂级数收敛域求解问题,但仔细观察审题后发现,系数中含有未知常数,虽然已知常数都大于0,但是常数间大小关系并不知道,而常数的大小关系直接关乎收敛半径的求解,进而影响收敛域的结果,所以必须对常数a和b的大小关系进行分类讨论.

3 问题的求解

(1) a=b时,收敛半径R的求解用系数模根值法:设系数项为un,则

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2,

此极限的求解用两边夹准则,

ann=nann2

=(n+1)ann2≤(n+n)ann2=2ann,

limn→∞nann=limn→∞ann=a1=a=1·a1

=limn→∞21nann=limn→∞n2ann,

故R=1a,則收敛区间为-1a,1a,下面确定端点收敛性.

(i)x=1a时,幂级数化为数项级数:

∑∞n=1ann+bnn21an=∑∞n=1ann+ann21an

=∑∞n=11n+∑∞n=11n2,

其中调和级数∑∞n=11n发散,p级数∑∞n=11n2的p=2>1收敛,所以此时幂级数发散.

(ii)x=-1a时,幂级数化为数项级数:

∑∞n=1ann+bnn2-1an=∑∞n=1ann+ann2(-1)nan

=∑∞n=1(-1)nn+∑∞n=1(-1)nn2,

其中交错级数∑∞n=1(-1)nn收敛,交错级数∑∞n=1(-1)nn2绝对收敛,所以此时幂级数收敛.

综上,a=b时原幂级数的收敛域是-1a,1a.

(2) a>b时,

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2,

两边夹准则,

ann=nann2

nan+bnn2

limn→∞nann=a=limn→∞n2ann,

故R=1a,则收敛区间为-1a,1a,下面确定端点收敛性.

(i)x=1a时,幂级数化为数项级数:

∑∞n=1ann+bnn21an=∑∞n=1ann+bnn21an

=∑∞n=11n+∑∞n=11n2ban,

其中调和级数∑∞n=11n发散,正项级数∑∞n=11n2ban用根值判别法:

limn→∞n1n2ban=limn→∞ba·1(nn)2=ba<1,

所以∑∞n=11n2ban收敛,此时幂级数发散.

(ii)x=-1a时,幂级数化为数项级数:

∑∞n=1ann+bnn2-1an=∑∞n=1ann+bnn2(-1)nan

=∑∞n=1(-1)nn+

∑∞n=1(-1)nn2ban,

其中交错级数∑∞n=1(-1)nn收敛,

交错级数∑∞n=1(-1)nn2ban绝对收敛,所以此时幂级数收敛.

综上,a>b时原幂级数的收敛域是-1a,1a.

(3) a

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2,

两边夹准则,

bnn2

≤nbn+nbnn2=2bnn,

limn→∞nbnn2=limn→∞b(nn)2=b12=b=1·b1

=limn→∞21nbnn=limn→∞n2bnn,

故R=1b,则收敛区间为-1b,1b,下面确定端点收敛性.

(i)x=1b时,幂级数化为数项级数:

∑∞n=1ann+bnn21bn=∑∞n=1ann+bnn21bn

=∑∞n=11nabn+∑∞n=11n2,

其中p级数∑∞n=11n2收敛,正项级数∑∞n=11nabn用根值判别法:

limn→∞n1nabn=limn→∞ab·1nn=ab<1,

所以∑∞n=11nabn收敛,此时幂级数收敛.

(ii)x=-1b时,幂级数化为数项级数:

∑∞n=1ann+bnn2-1bn=∑∞n=1ann+bnn2(-1)nbn

=∑∞n=1(-1)nnabn+

∑∞n=1(-1)nn2,

其中交错级数∑∞n=1(-1)nn2绝对收敛,

交错级数∑∞n=1(-1)nnabn也绝对收敛,所以此时幂级数收敛.

综上,a

4 收敛半径的系数模比值法求解

(1) a=b时,收敛半径R的求解用系数模比值法:设系数项为un,则

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1(n+1)2ann+bnn2

=limn→∞an+1n+1+an+1(n+1)2ann+ann2=limn→∞nn+1+n(n+1)21+1na

=1+01+0·a=a,

所以R=1a.

(2) a>b时,

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1(n+1)2ann+bnn2

=limn→∞nn+1+n(n+1)2·ban+11a+1n·ban·1a

=1+01a+0=a,

所以R=1a.

(3) a

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1(n+1)2ann+bnn2

=limn→∞n2n+1·abn+1+n2(n+1)2n·abn+1b,

其中,

limn→∞n2n+1·abn+1=limn→∞n2n+1ban+1

=limn→∞n-1+1n+1ban+1

=∞∞limn→∞1-1(n+1)2ban+1·lnba

=0,

limn→∞ n·abn=limn→∞nban=∞∞limn→∞1ban·lnba=0,

所以1R=0+10+1·b=b,R=1b.

5 總结

通过这道考博试题,我们发现求解幂级数收敛域问题时,若系数项有未知常数,则通常需要对其进行分类讨论.而在第一步求解收敛半径时,系数模比值法和系数模根值法也许都能用,但针对不同类型的系数项特点,会有一种方法更适合、更严密、更简便.

【参考文献】

[1]郝新生.应用数学[M].北京:中国农业出版社,2017.

[2]郝新生,薛自学.高等数学(下册)[M].北京:中国农业出版社,2017.

[3]方桂英,崔克俭.高等数学:第四版[M].北京:科学出版社,2018.

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