两类双曲有理函数的积分

马鹏 杨立敏 陈文 于静

【摘要】双曲函数有非常广泛的应用， 本文将从双曲函数恒等式出发， 利用互导函数的性质给出一些新的求解双曲有理函数的积分方法.

【关键词】双曲函数;积分

【基金项目】新疆维吾尔自治区本科教育教学研究和改革项目（JG2019023）和新疆维吾尔自治区《石油类高校以培养高层次应用型人才为目标的数学公共课程教学的实践与探索》项目（2017JG095）

一、引 言

双曲函数的起源是悬链线， 首先提出悬链线形状问题的人是达·芬奇.他在绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状， 遗憾的是他没有得到答案就去世了. 时隔170 多年，约翰·伯努利却解出了正确答案， 同一时期的莱布尼茨也正确地给出了悬链线的方程. 他们的方法都是利用微积分， 根据物理规律给出悬链线的二次微分方程，然后再求解. 18世纪， 约翰·兰伯特开始研究这个函数， 首次将双曲函数引入三角学. 19世纪中后期， 奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线， 威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线. 至此， 双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位. 19世纪，复变函数开始了全面发展， 伴随着欧拉公式的诞生， 双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一[2]. 双曲函数有非常广泛的应用， 在描述弹性固体中波的运动， 散热片中的温度分布等问题时都可以用到双曲函数， 反双曲函数在积分学中也有很多的应用.

常用的双曲函数恒等式都蕴藏在下图的正六边形中，具体如下：

（1）正六边形任意三个相邻顶点对应的双曲函数中， 两端双曲函数之积等于中间三角函数，如

sinh xsech x=tanh x，   tanh xcsch x=sech x，

sech xcoth x=csch x，csch xcosh x=coth x，

coth xsinh x=cosh x，   cosh xtanh x=sinh x.

（2）阴影部分倒立三角形中上顶点处双曲函数的逆时针平方差等于下顶点处双曲函数的平方，如

cosh2x-sinh2x=1，  1-tanh2x=sech2x，

coth2x-1=csch2x.

（3）正六边形的三条对角线两端点处双曲函数互为倒数，如：

tanh xcoth x=1，  sinh xcsch x=1，   cosh xsech x=1.

定义1[1] 设函数f（x）与g（x）均为可导函数，如果f′（x）=αg（x），且g′（x）=αf（x）或g′（x）=-αf（x）（α为任意常数），那么称f（x）与g（x）为互导函数.如果f′（x）=αg（x），且g′（x）=-αf（x），那么称f（x）与g（x）为相反互导函数，α为互导系数.

显然，正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x为一对互导函数，同时，是一对相反互导函数. 双曲正弦函数y=sinh x和双曲余弦函数y=cosh x为一对互导函数.

二、利用互导函数的性质求双曲有理函数的积分

定义1提出了自导函数及互导函数，考虑满足方程y′=αy与y′=-αy的函数（α为任意常数），容易得到满足上述微分方程的函数是指数函数eαx与e-αx.由eαx与e-αx构成的函数中，常见的是双曲函数，本文将对双曲有理函数的积分方法进行研究. 在此之前先来看一个例子：

∫11+2tan x dx.

对于这种问题，一般是通过“切割化弦”转化为正、余弦函数的积分∫cos x2sin x+cos xd x，由于正、余弦函数为互导函数， 考虑如下等式：

cos x=A2sin x+cos x+B2sin x+cos x′=2A-Bsin x+A+2Bcos x.

由待定系数，可得2A-B=0，A+2B=1，也就是A=15，B=25， 即

∫11+2tan x dx=∫cos x2sin x+cos x dx

=15∫2sin x+cos x+22sin x+cos x′2sin x+cos x dx

=15∫2sin x+cos x2sin x+cos x dx+25∫2sin x+cos x′2sin x+cos x dx

=15x+25∫12sin x+cos x d2sin x+cos x

=15x+25ln2sin x+cos x+C   （C為任意常数）.

上述方法充分考虑正、余弦函数的互导性质，我们把这种积分方法用到双曲有理分式函数的积分当中，即考虑积分

∫λsinh x+μcosh xasinh x+bcosh x dx.

其中，a，b，λ，μ为任意常数且|a|≠|b|.

注意到（sinh x）′=cosh x，（cosh x）′=sinh x，考虑

λsinh x+μcosh x

=Mλsinh x+μcosh x+Nλsinh x+μcosh x′=aM+bNsinh x+（bM+aN）cosh x.  （1）

由待定系数，得

aM+bN=λ，bM+aN=μ，

容易得到 M=aλ-bμa2-b2，N=aμ-bλa2-b2，根据（1）式，有如下重要结论：

∫λsinh x+μcosh xasinh x+bcosh x dx

=aλ-bμa2-b2x+aμ-bλa2-b2lnasinh x+bcosh x+C  （C为任意常数）.   （2）

32∫d4sinh x-2cosh x144sinh x-2cosh x2-（-2）=4∫dsinh x-2cosh x1-sinh x-2cosh x2+

6∫d4sinh x-2cosh x8+4sinh x-2cosh x2=4arctanhsinh x-2cosh x+

324∫d2sinh x-cosh x21+2sinh x-cosh x22=4arctanhsinh x-2cosh x+

324arctan2sinh x-cosh x2+C.

注2.2 如果b≠0，那么κ1=a， κ2=c是方程a-κc+κ=0的两个根，ωi将无意义. 若考虑ac>0，则有

∫λsinh x+μcosh xasinh2x+2bsinh xcosh x+ccosh2x dx

=∫λsinh x+μcosh xasinh2x+ccosh2x dx

=λ∫sinh xasinh2x+ccosh2x dx+μ∫cosh xasinh2x+ccosh2x dx

=-λ∫sinh xa-（a+c）cosh2x dx+μ∫cosh xc+（a+c）sinh2x dx=-λa∫sinh x1-a+cacosh2x dx+μc∫cosh x1+a+ccsinh2x dx=-λaaa+c∫da+cacosh x1-a+cacosh x2 +

μcca+c∫da+ccsinh x1+a+ccsinh x2=-λaaa+carctanha+cacosh x+

μcca+carctana+ccsinh x+C.

其次，考虑不定积分

∫1asinh x+bn dx，

其中n∈N+，而a，b为任意常数且|a|≠|b|.

令In=∫1asinh x+bn dx，

考虑In-1=∫1asinh x+bn-1 dx，注意到

In-1=∫1asinh x+bn-1 dx

=1b∫asinh x+b-asinh xasinh x+bn-1 dx

=1bIn-2-ab∫dcosh xasinh x+bn-1=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1b∫a2cosh2xasinh x+bn dx=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1b∫a2+b2+asinh x+basinh x-basinh x+bn dx

=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1a2+b2bIn-

n-1b∫asinh x+b-2basinh x+bn-1 dx=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1a2+b2bIn-

n-1bIn-2+2n-1In-1，

移項得到In=∫1asinh x+bn dx的递推公式

In=1n-1a2+b22n-3bIn-1-

n-2In-2acosh xasinh x+bn-1，

同理，得到Jn=∫1a+bcosh xn dx的递推公式

Jn=1n-1a2+b22n-3aJn-1-

n-2Jn-2acosh xa+bcosh xn-1.

三、总 结

本文主要考虑三角函数与双曲函数之间的关系， 给出了几个双曲有理函数的积分公式或递推表达式， 丰富了积分的知识范围.

【参考文献】

[1]朱永银，郭文秀，朱若霞.组合积分法[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

[2]A. P. 扬波尔斯基. 双曲函数[M].邢富冲，译.北京： 中央民族学院出版社，1987.