拉格朗日中值定理在高等数学中的应用探索

陆华勇

【摘要】从微积分来看，拉格朗日中值定理是一块非常重要的内容，它在导数和函数之间架起了桥梁，并且该定理已被应用于各个领域.本文采取举例的方式对该定理如何被应用于高等数学进行了展示.

【关键词】拉格朗日中值定理;应用;证明

引 言

从微分学来看，微分中值定理是基本定理之一，学生要想把微分学这块内容学好，最重要的是对该定理的成立条件及其证明过程形成深刻的认识.在高等数学这门课中，微分学是其中的重要知识之一，该门课研究的是以实数集为定义域的函数具有哪些性质，在对函数性质进行探究的过程中，微分中值定理就是其中的一个不可或缺的重要工具.作为有效工具之一的微分中值定理，探讨的是如何根据导数具有的性质推断函数具有哪些性质，将导数知识用到了函数性质的探究中，在两者之间起到了桥梁作用.微分学中最为基础的是拉格朗日中值定理，对其进行推广得到了柯西中值定理，而取其特殊情况又得到了罗尔定理，所以说拉格朗日中值定理充当着核心角色.对函数具有的包括最值、单调性以及极值等性质进行的探究，以及对曲线表现出的凹凸性进行的探讨都是以拉格朗日中值定理为基础的.本文围绕着拉格朗日中值定理展开，对证明这一定理时构造辅助函数的若干种方法进行了介绍，并采取举例的方式对该定理怎样在例题中得到应用展开了分析.

一、拉格朗日中值定理的概念

基本内容：存在一个函数f（x），在闭区间[a，b]上为连续函数，在开区间（a，b）上为可导函数，那么在该开区间内至少有一点ξ，满足a<ξ

解释如下：（1）该定理也可以叫作有限增量定理，在导数和函数之间搭建起了桥梁，通过导数具有的性质就可以对函数具有的性质展开探究.

（2）该定理是基础，进行推广得到了柯西中值定理，特殊化处理则得到了罗尔定理，拉格朗日公式相当于0阶泰勒公式.

（3）该定理既能够在不等式以及等式的证明中得到应用，也能够用于对函数具有的连续性、单调性以及凹凸性等多项性质展开探究.

（4）在对很多定理进行证明时，是否存在ξ是其中的一种理论工具.该定理指出存在至少1个的中值ξ，但是有些时候可能没有办法求解得到.例如，假设将f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a看作一个方程，那么存不存在ξ就等同于方程存不存在根这个问题.该定理的本质是对ξ是（a，b）中的一个无法确定位置的点形成深入认识，但是考虑到ξ是有范围的，也就是a<ξ

（5）使用该定理解题时，其中的难点之一在于辅助函数的构造或者是选取.针对于此，可将等式f（b）-f（a）b-a视为分式，并以之为着手点构造函数f（x），同时将取值区间（a，b）确定下来，最后求解得到导数f′（x）.为得出f（b）-f（a）b-a，作出部分变形处理是很有必要的，如lnxx-1=ln x-ln（x-1），x-1<ξ

二、拉格朗日中值定理的证明

从拉格朗日中值定理来看，在对其进行证明时，应用的技巧是以构造辅助函数为主的，而辅助函数是有非常多种构造方法的，最为常见的有行列式法、K值法等，在这些方法中，最易掌握的是倒推法，应用得也相当广泛，下文对倒推法用于辅助函数的构造的具体步骤进行了展示.

根据拉格朗日中值定理得到的结论不难发现：

ξ∈（a，b），s.t.f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

考慮到区间（a，b）内该函数为可导函数，因而导数在ξ点的取值就是F′（ξ），可以表示成f′（ξ）=f′（x）|x=ξ，但是函数f（b）-f（a）b-ax的导数是常数f（b）-f（a）b-a，所以待证结论能够改写为：

f（b）-f（a）b-ax-f（x）′|x=ξ=0，

此时便可构造下述辅助函数：

F（x）=f（b）-f（a）b-ax-f（x）.

考虑到f（b）-f（a）b-ax-f（x）′|x=ξ=0，所以有F（ξ）=0.考虑到区间[a，b]上F（x）为连续函数，（a，b）上则是可导函数，而且有F（a）=af（b）-bf（a）b-a=F（b），故而根据罗尔定理可知，肯定会有一个ξ∈（a，b），使得F（ξ）=0，也就是 F′（ξ）=f（b）-f（a）b-a-f′（ξ）=0，等同于f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

三、拉格朗日中值定理的应用

1.证明恒等式.

考虑到该定理得到的结论实质上为一个等式，所以该定理可在部分等式的证明中得到应用.

（1）证明单介值等式命题.

从这种命题来看，其题型往往是：肯定会有不少于1个的点ξ∈（a，b），F（x）=xf（x）以令G（ξ，f（ξ），f（n）（ξ））=0成立.在对这种命题进行证明的时候，其中的关键在于辅助函数的选取，辅助函数选取得精确，可将问题化繁为简.通常而言，倒推法用于辅助函数的构造是较为可取的，具体步骤如下：第一步，用x来代替待证等式内的ξ;第二步，进行恒等变换，将等式化简成导数符号易于消除的形式;第三步，仔细观察，得到f（x）.

例1 假定存在一个函数f（x），在[a，b]上为连续函数，在（a，b）上为可导函数，试证：（a，b）内会存在不少于1个的点ξ，使bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ））+af（a）成立.

思路：针对bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ）+af（a）），用x来代替其中的ξ，这时会有bf（b）=（b-a）（f（x）+xf′（x））+af（a）.

對其变形，得到bf（b）-af（a）b-a=f（x）+xf′（x），

观察发现，辅助函数选取为F（x）=xf（x）.

证明：构造函数F（x）=xf（x），那么该函数在[a，b]上为连续函数，在（a，b）上为可导函数，由拉格朗日中值定理不难发现，势必会有不少于1个的点ξ∈（a，b），使得F（b）-F（a）b-a=F′（ξ）成立，所以bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ），也就是bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ））+af（a）.

（2）证明双介值等式命题.

从这种命题来看，其题型往往是：中值共有2个，用ξ，ηξ≠η来表示，且它们存在某种关系.这种命题的证明和单介值命题类似，辅助函数也是要构造的，区别在于这种命题通常需要构造两个函数，题干中已知的仅仅是其中之一，有一个是未知的，这时就需要与结论得到的关于η的关系式相结合进行变换，具体步骤如下：第一步，对待证等式进行变形，得到两个表达式，一个是与ξ相关的，另一个是与η相关的;第二步，仔细观察，得到F（x）.

例2 假定存在一个函数f（x），在[a，b]上为连续函数，在（a，b）上为可导函数，而且有f（a）=f（b）=1，试证：（a，b）内会存在不少于1个的点ξ和η，使eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1成立.

思路：针对待证等式eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1，把ξ和η分开，也就是eη[f（η）+f′（η）]=eξ，等同于[exf（x）]x=η=（ex）x=ξ，此时可构造下述两个辅助函数，一个是F（x）=exf（x），另一个是G（x）=ex.

证明：假定F（x）=exf（x），那么F（x）在[a，b]上为连续函数，在（a，b）内为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（a，b）内会有不少于1个的点η，使F（b）-F（a）b-a=F′（η）成立，也就是ebf（b）-eaf（a）b-a=eη[f（η）+f′（η）]，故而有eb-eab-a=eη[f（η）+f′（η）].（1）

假定G（x）=ex，那么G（x）在[a，b]上为连续函数，在（a，b）上为可导函数，根据拉格朗日中值定理不难发现，（a，b）内会有不少于1个的点ξ，使G（b）-G（a）b-a=G′（ξ）成立，也就是eb-eab-a=eξ.（2）

综合（1）和（2）可知eη[f（η）+f′（η）]=eξ，等同为：eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1.

2.证明不等式.

在对不等式进行证明的过程中，拉格朗日中值定理的应用是按照下述步骤展开的：第一步，对辅助函数f（x）进行构造;第二步，选取合理的应用区间（a，b）;第三步，确定中值ξ的取值空间.其中的重点在于第一、二这两个步骤.从实际应用来看，辅助函数f（x）通常是以待证不等式为依据来确定的，并据此选取合理的应用区间（a，b）.下文采取举例的方式对如何构造辅助函数进行了阐述.

（1）证明函数不等式命题.

在对这种命题进行证明时，如果用到的是拉格朗日中值定理，那么待证命题牵涉的往往只是同一函数在不同点的取值的差异，也就是待证不等式的某端通过变形之后形如f（b）-f（a）.解题思路如下：这种命题往往需要结合待证不等式对辅助函数f（x）进行构造，对该函数可以应用拉格朗日中值定理进行验证，即为f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），而后按需放大或者是缩小，最后把其内的带有ξ的项去掉，此时待证不等式就可得证.

例3 试证：在x>0的情况下x1+x

思路：对x1+x

x1+x

，因为f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，所以11+x

x1+x

f′（x）=11+xf′（ξ）=11+ξ（0<ξ

可以看到，辅助函数以及选定的应用区间均合理，下文对证明过程进行了详细的阐述.

证明：

假定f（x）=ln（1+x），那么从区间（0，x）来看，f（x）=ln（1+x）可以应用拉格朗日中值定理，所以（0，x）内肯定会有1个以上的点ξ，可让f′（ξ）=f（x）-f（0）x-0

成立，即f′（ξ）=ln（1+x）-ln（1+0）x-0.

理由是f′（x）=11+x，因而f′（ξ）=11+ξ

，0<ξ

，11+x0的情况下，x1+x

从上述例题不难发现，若不等式成立的条件是x>a，那么应用区间选取（a，x）会较为合理.

（2）证明中值不等式命题.

这里所说的中值不等式命题指的是不等式关系内存在的中值命题.拉格朗日中值定理用于这种命题的证明时同样要用倒推法，据此得出辅助函数，方法还是以结论为主要着眼点，相较于等式的证明而言，区别在于：一端进行变号处理，转移至另一端，而后观察，得出解题需要用到的辅助函数.

例4 存在一个函数f（x），在区间[0，1]上为连续函数，在区间（0，1）内为可导函数，而且有f（u）=u，试证：假定[0，1]上f（x）有非零值，那么在（0，1）内一定存在点ξ，可使f（ξ）f′（ξ）>u成立.

思路：此处需证f（ξ）f′（ξ）>u.由于f（ξ）f′（ξ）=f2（x）2′x=ξ，故而需要构造下述辅助函数：

F（x）=f2（x）2.

证明：

假定F（x）=f2（x）2，那么F（x）在区间[0，1]上为连续函数，在区间（0，1）内为可导函数，f（u）=u，因而存在a∈（u，1），可以使得F（a）=f2（a）2成立，这时有F（x）在区间[0，a]上为连续函数，在区间（0，a）内为可导函数，即能够应用拉格朗日中值定理，故而存在ξ∈（0，1），会有F′（ξ）=F（1）-F（0）=F（1）>u，等同于：

F′（ξ）=f（ξ）f′（ξ）>u.

3.证明根的存在性.

例5 区间[0，1]上f（x）为可导函数，而且有0

证明：先通过构造法对存在根进行证明，而后通过拉格朗日中值定理对有且仅有一个根进行证明.

（1）根的存在性.

假定g（x）=f（x）+x-1，此时有g（0）=f（0）-1，g（1）=f（1）.考慮到x∈[0，1]时有 00，故而有g（0）·g（1）<0

，由根的存在性定理不难发现，区间（0，1）内g（x）必定会有实根.

（2）根的唯一性.

为证区间（0，1）内f（x）+x-1=0有且仅有一个根，通常会提出区间（0，1）内f（x）+x-1=0共有2个实根的假设，而后得到和已知不符的结论，这样唯一性就可得证.下文对拉格朗日中值定理用于唯一性证明的详细过程进行了说明：

先假定区间（0，1）内f（x）+x-1=0共有2个实根，用α和β来表示，并且假定α<β，这样就能够得到f（α）=1-α，f（β）=1-β，将拉格朗日中值定理用到[α，β]区间上的f（x）中，可知f（α）-f（β）=f′（ω）（α-β），整理可得f（α）-f（β）α-β=f′（ω），也就是：

（1-α）-（1-β）α-β=-1，与已知条件f′（ω）≠-1不符.

所以唯一性得证.

4.求解函数最值.

在对函数最值问题进行求解时，只有符合一定形式才能够应用拉格朗日中值定理，例如，能够化简为t≥f（x1）-f（x2）x1-x2或者t≤f（x1）-f（x2）x1-x2这种形式，只有这样才能够用拉格朗日中值定理来求解.

例6 存在一个函数f（x），假定k为一个实数，x1和x2是其定义域中任取的两个点，有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，那么函数f（x）（x∈D）就可以称之为符合利普希茨条件，如果函数f（x）=x（x≥1）符合利普希茨条件，求k的最小值.

解：由题意可知，k≥f（x1）-f（x2）x1-x2，

由拉格朗日中值定理有f′（ω）=f（x1）-f（x2）x1-x2，

所以有k≥f′（ω），这样就能够求出f′（ω）的最大值.

因为f（x）=x，所以f′（x）=12x≤12，

故而f′（x）的最大值是12，即k的最小值是12.

5.求解函数极限.

在对函数极限问题进行求解时，拉格朗日中值定理同样可以得到应用.如果待求函数的极限是同种函数的差值，自变量之间的差值只是一个常数，那么拉格朗日中值定理就能够对其进行简化，而后再进行求解.

例7 试求极限limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x.

思路：可以看到，该题是一种0·∞型未定式.从区间[x，x+1]来看，f（x）=arctan x可以应用拉格朗日中值定理，有：

arctan（x+1）-arctan x=11+ξ2，且ξ∈x，x+1.可以看到，x→+∞时ξ→+∞，而且有limξ→+∞11+ξ2=0.考虑到limξ→+∞x2=∞，这时极限limx→+∞x21+ξ2存在与否取决于ξ的一些细节，意味着对中值点进行的粗糙估计无法得出原极限，通过其他工具的应用进行支持还是很有必要的.

第一种解法（对中值点进行精细估计），考虑到arctan（x+1）-arctan x=11+（x+θ）2

，且有θ∈（u，1）.

这时limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+（x+θ）2=1.

第二种解法（采取夹逼准则），考虑到

arctan（x+1）-arctan x=11+（x+θ）2，

且有ξ∈（x，x+1），所以有

limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+ξ2，

可以看到x<ξ

而且有limξ→+∞x21+（1+x）2=limξ→+∞x21+x2=1，

故而limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+ξ2=1.

如果极限是包括f（b）-f（a）这种未定式的，作为重要工具之一的拉格朗日中值定理可以达到让计算得到简化的目的.通过事实发现：相较于对中值点进行粗糙估计来说，第二种解法显然得到了更为广泛的使用.通常来说，粗糙估计只可以在limx→x0f′（ξ）存在而且不等于0的这种情况下适用，但第二种解法并不会受到这种情况的限制.第二种解法不单单能够在limx→x0f′（ξ）存在而且不等于0的情况下适用，在limx→x0f′（ξ）=0与limx→x0f′（ξ）=∞这两种情况下也能够适用，且应用更为广泛.

但是只是从公式复杂程度来看的话，在形式上第一种解法显然更为简洁.所以，在对包括f（b）-f（a）在内的这种未定式极限的求解过程中，先采取第一种解法来分析是可行的，假使无法得到结果，常常会用到下述策略：

（1）对中值点进行修改，使之变成精细估计形式，而后再展开更为深入的分析;

（2）针对粗糙估计得到的中值点作放缩处理，而后通过夹逼准则的应用完成计算.

结束语

微分学的发展就是基于微分中值定理的，而且从实际应用来看，该定理的应用也是极为广泛的，恰恰是因为这个定理这么重要，所以也被叫作微分基本定理.从三大基本定理可以看出，应用最为广泛的当属拉格朗日中值定理，原因在于它对于函数并没有提出很严格的要求.在对问题进行求解时，关键点在于基于命题分解得到待求问题需要用到的函数，使得函数不单单可以应用拉格朗日中值定理，又能够让求解得到简化.本文对该定理在包括等式、极限求解等在内的多个方面的应用进行了介绍.从该定理的整个应用过程来看，最为重要的问题有两个，一个是辅助函数的构造，另一个是区间的确定.从整个过程可以看出，应用该定理求解问题的思路相对比较简单.但是为了让该定理能够得到灵活应用，对本文总结得出的思想方法需进行灵活运用.

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