随机多目标煤炭模型的智能优化求解

刘彦文，崔志华，王丽芳

（太原科技大学 计算机科学与技术学院，太原 030024）

煤炭行业作为支柱性产业，其经济发展正面临着挑战。由于粗放式开采带来了水资源破坏、煤矸石堆存、瓦斯排放等问题。另外，在煤炭利用过程中会释放大量的污染性气体，给生态环境的保护带来极大的威胁［1－3］。如今，能源的供需关系日趋紧张，一方面，宏观经济政策的调整，导致国内煤炭需求减少，另一方面，随着不断完善能源基础，国家大力支持节能减排政策、环保发展。低碳生活、低碳经济的理念已经深入人心，作为重点的能耗产业之一，煤炭行业在节能环保开发工作中承担着重要的任务。

目前，许多国内外学者对能源开发方面做了大量的研究。通过对地质水平复杂性、开采技术水平和管理水平3个方面分析，李堂军等［4］研究了影响煤炭资源回收率的关键因素，从而提高资源的利用率。考虑到经济发展速度与综合经济的平衡，王峰等［5］从动态投入产出分析的角度建立了煤炭行业动态投入产出的多目标规划模型。考虑到低碳生活，陆彬［6］提出了能源消费成本最小和二氧化碳排放最小这2个目标的能源消费模型，并对将来的低碳情景下能源消费结构进行了分析。著名经济学家Solow［7］提出，长期资源供应安全必须符合公平原则。为了有效地分析碳排放的影响因素，张京玉等［8］对碳排放情况详细分析，表明我国碳排放量处于增长趋势。张皓月等［9］通过分析征收碳税对煤炭行业的影响，发现征收碳税可以降低高碳能源产品的消耗，有利于可再生能源及低碳产品的消费，从而实现能源结构的优化和转型，减少碳排放。陈淳等［10］通过大型煤矿企业进行研究，分析煤炭企业的能源结构及能源消费，发现其存在高耗能设备较多，资源综合利用率较低，新能源利用意识比较薄弱等问题，从而提出通过调整产业结构，构建具有煤矿企业特色的节能环保模式。

在能源利用阶段，大部分能源系统都存在可变性和不确定性［11－13］。分析煤炭企业的管理、客户的需求及煤炭的销量等不确定因素，李丹等［14］提出了企业利润最大化和客户满意度最大化这2个目标的决策模型并用遗传算法对模型进行求解。针对多能互补系统智慧能源系统中的随机性和不确定性，卢欣等［15］提出了可再生能源和冷热电负荷的随机模糊模型。通过研究风电不确定性对电力系统的影响，杨茂等［16］分析风电功率的实际值与预测值，并采用条件概率分布做进一步的估计。刘友生［17］提出生态系统能耗分析模型，并对其能耗因子进行分析。针对冷热电联系统中电荷要求的不确定性和随机性，袁佳丽等［18］提出最小化系统经济成本为目标并建立优化调度模型。对可再生能源的电力系统进行不确定性分析，刘凯诚等［19］提出了指标控制界限的制定方法，完善了混成控制理论框架。因此，作为重要的能源，需要进一步合理规划煤炭效益，考虑煤炭价格、污染物排放的不确定性，进一步实现绿色环保。

煤炭效益目标优化作为复杂的多目标优化问题，在建模求解的过程中，变量具有随机性、突发性等。因此考虑随机变量在煤炭模型效益优化方面的影响具有重要的意义。此外，大部分的煤炭效益模型没有从环保节能角度出发考虑。在此背景下，本文从经济和能源方面，分析了煤炭价格的波动情况及废气废水等污染物排放的变化状态。针对这些随机性的变量，通过随机模拟方法描述随机变量，建立了经济和环境这2个目标的煤炭机会约束模型，并采用3种进化算法进行求解并详细分析实验结果。

1 相关工作

1．1 多目标问题的定义

一般而言，同时存在2～3个目标需要被优化问题称为多目标优化问题（multi objective optimiza tion problems，MOPs）。为了叙述方便，本文先给出多目标优问题一般化定义如下：

式（1）中：fi（X）（i＝1，2，…，m）是第i个目标函数；X是决策变量空间中具有n维变量的解向量；Rn是n维决策变量空间；gi（X）≥0是不等式约束；hj（X）＝0是等式约束。

1．2 机会约束定义

当在多目标优化问题中需要考虑随机变量的时候，由于没有确定的可行集，因此需要新的理论来解释目标函数和约束条件，使得随机约束可以在一定的置信度区间内成立［20］。机会约束规划是由Charnes和Cooper提出的第二类随机规划，其特点是随机约束条件至少以一定的置信水平成立［21］。定义多目标随机约束模型为：

式（2）中：fi（X）（i＝1，2，…，m）是目标函数；X是具有n维变量的决策向量；ξ为随机变量；gi（x，ξ）为随机约束条件；α和β为置信水平；f是当置信水平为α时，fi（x，ξ）目标函数成立的最小值。

1．3 多目标算法现状

为了解决多目标优化问题，越来越多的启发式算法被提出［22－24］。例如，1994年，Srinivas等［25］提出了经典的遗传算法NSGA，但其采用的排序策略具有较高计算复杂度。为了解决此问题，Deb［26］提出了NSGA Ⅱ算法，其通过非支配排序和拥挤度距离的选择策略，使得它在解决多目标问题方面具有优势。同年，Zitler［27］提出了具有混合适应值分配、归档截断和基于密度的选择策略SPEA2（strength Pareto evolutionary algorithm 2）算法。为了降低算法复杂度，2007年，ZHANGQingfu等［28］提出了基于分解的多目标进化算法，其主要思想是把一个目标优化问题分解为多个标量化的子问题并同时优化子问题。之后，周欢等［29］提出MOEA／D（multi objec tive evolutionary algorithm based on decomposition）算法领域更新策略。2011年，Bringmann［30］提出了AGE（approximation guided evolutionary algorithm）算法。为了进一步优化运行时间，Mark［31］提出具有归档策略的AGE Ⅱ算法并与其他算法进行了分析比较。与进化算法不同，基于粒子群的多目标算法是另一种经典的多目标算法，如蚁群算法和微粒群算法［32－33］。2010年，Yang［34］提出一种搜索全局最优解的有效方法，即蝙蝠算法。随后，Cai X等［35－36］提出了通过翻转策略来优化蝙蝠算法，并通过优化无线传感器网络中的路由协议显示了算法求解实际应用问题的能力。孙辉［37］等提出正弦选择策略优化人工蜂群算法。由于萤火虫算法简单、易实现并具有良好的性能等特点，王辉等［38－39］学者都对萤火虫算法进行了分析和改进。通过类集成测试序列进行分析，张艳梅等［40］通过粒子群算法优化并最终得到最优类测试序列。Cui等［41－42］提出混合策略的PSO算法去优化煤炭效益模型和蚁群算法优化路径问题。

煤炭效益的多目标优化是一个复杂的多目标优化问题，由于多个目标之间相互冲突，通过多目标算法求解可以得到一个最优解集。

2 多目标煤炭机会约束模型

为了满足当代社会绿色节能、可持续发展的要求，本文综合考虑煤炭经济效益和煤炭生产过程中污染物排放量这2个目标，基于污染物排放与治理、煤炭开采工序之间产量的关系等约束条件下，建立煤炭多目标机会约束模型。

2．1 目标函数

为了保持生态平衡和社会的可持续发展，高效的煤矿绿色生产配置方案对于实现煤炭资源系统的可持续利用及经济发展有着重要意义。分析可知，在煤炭资源生产过程中污染气体排放、污水的排放以及煤炭价格的变动等等都具有较大的随机性，即煤炭多目标模型在优化过程中存在许多不确定变量。因此，本文同时考虑经济效益和环境效益这2个目标，提出面向煤炭生产的多目标机会约束模型设计。

2．1．1 经济效益目标

在经济效益目标中，煤炭价格是一个很重要的影响因素。煤炭价格处于一个动态变化的状态，由于受到季节的影响，冬天煤炭需求会增加，煤炭价格普遍会涨一些，夏季时，可以通过水力发电等措施来提供电力的使用，煤炭需求会降低一些，煤炭价格随之下降。近些年，我国实行绿色、环保的能源政策，这也在一定程度上冲击了煤炭价格。因此煤炭价格在一定范围内不断浮动，用随机过程来刻画煤炭价格变化过程是合理的。本文在经济效益目标模型中引入随机变量，从而建立经济效益的期望值模型。

式（3）中：T为计划年数；coalt，4为煤炭生产过程中第t年第4道工序的煤炭产量。

2．1．2 环境效益目标

当代，经济发展的同时也必须考虑绿色环保。因此环境效益目标是煤炭矿区优化模型中的一个重要目标。煤炭在生产过程中会产生废水、固体废弃物、烟尘、粉尘等污染物。试验研究表明，在稳定的大气环境下，污染物的浓度分布符合正态分布。二氧化硫等污染气体排放可认为是随机过程，其服从正态分布。为了尽量达到绿色环保的要求，矿区可以通过投资一些项目利用这些排放物，减少各种污染物的排放量。通过对污染物进行利用后，煤炭生产中污染物排放量的目标函数如下：

式（4）中：T为计划年数；N为煤炭生产过程的工序数；L为煤炭生产过程中排放物的种类数；Plt，n，l为煤炭生产过程中第t年第n道工序第l种的污染排放量；coalt，4为第t年第4道关键工序的煤炭产量；K为综合治理或者利用的项目数；αt，k，l为第t年投资第k种治理或综合利用项目对第l种污染物利用率；PZt，k为第t年投资第k种综合治理的投资项目。

2．2 约束条件

2．2．1 各工序煤炭产量约束

煤炭矿区的开采过程有4道关键工序，其中coalt，2表示第t年回采工序后的煤炭产量，coalt，3表示第t年井下运输与提升这道工序的煤炭产量，coalt，4表示第t年选煤这道工序的煤炭产量。分析可知，回采与井下运输的煤产量之和大于井下运输的产煤量，同理第三道工序的煤产量肯定大于选煤的煤产量，因此有：

2．2．2 污染物利用率约束

对于煤炭生产过程中环境污染物的治理和利用，对污染物的治理和综合利用率最高只能达到100%，即利用率不能超过100%，其中 αt，k，l表示综合利用率，PZt，k表示对污染物排放治理过程中的投资，因此有：

2．2．3 非负约束

在煤炭资源的开发和利用过程中，第4道关键工序之后的煤炭产量才是可以直接利用的煤炭，因此其中每一道工序中煤炭的产量都不可能小于0，因此有：

2．2．4 污染物排放机会约束

在煤炭资源的生产过程中，针对二氧化硫这种污染气体的排放，通过分析认为其服从正态分布，建立机会约束模型， 为置信水平，ξ为在置信水平下成立的值，因此有：

2．2．5 其他约束

煤炭资源开采中的环境效益目标，考虑到对污染物排放治理需要投资，因此如果PZt，k＝0，表示不投资治理污染物，而PZt，k＝1则表示投资治理污染物，因此有：

2．3 模型简化

通过对本文所提的随机多目标机会约束模型进行总结和简化，考虑到其中的不确定变量和经济、环境效益这2个指标，建立了简化的多目标机会约束模型［43］。

Plt，n，l表示在第t年第n道关键工序对第l种污染物进行治理，Plot，n，l表示在这第t年第n道关键工序对第l种污染物未进行治理，Plt，n，l相对于Plot，n，l的值与第1年到第t－1年关键工序的治理情况有关，因此有：

将该公式代入环境效益模型中，当t≥2时，模型可简化为：

3 多目标算法求解模型

3．1 多目标算法

近年来，越来越多的多目标优化算法被用于求解实际应用问题。SPEA2、AGE Ⅱ和NSGA Ⅱ等作为经典的多目标算法，被用于多目标煤炭机会约束模型的求解，下面对3种算法进行简要描述。

SPEA2算法是初始化种群和存档集合个体，计算适应值，通过细粒度的适应度分配策略、密度估计技术和改进的归档截断策略来进行选择，通过交叉、变异操作直到算法结束循环。

AGE Ⅱ算法是初始化种群和网格存档个体，生成子代个体，并在在种群迭代优化过程中通过调整存档策略使算法快速收敛，删除那些被所有解支配的个体，父子代合并，直到满足算法终止条件。

NSGA Ⅱ算法是初始化种群个体，通过交叉、变异等遗传算法操作生成子代个体，父子代合并，采用快速非支配排序和拥挤度距离这2个策略，进行选择精英个体的操作并进行算法的迭代。

3．2 随机模拟

随机模拟方法是通过建立一个概率模型或者随机过程，使其参数与所求问题解的数目相同，多次抽样试验或观察过程来得到所求参数的一些统计特征，从而给出所求解的近似值。

对于本文中给定的煤炭价格随机变量，其算法的具体步骤如下：

步骤1 设置N值（迭代次数）；

步骤2 通过概率分布产生一组随机变量；

步骤3 计算目标值并重复N次；

步骤4 返回所求结果。

通过对不确定变量污染物排放气体进行随机约束，可以更好地描述模型中污染物气体的变化过程，因而本文建立了环境效益的机会约束模型，在随机模拟过程中，需要对不确定变量进行约束检查，在满足约束条件后继续进行目标函数值的计算，具体计算步骤如下：

步骤1 设置N值（迭代次数）；

步骤2 通过概率分布产生一组随机变量；步骤3 进行约束条件的检查；

步骤4 计算目标值并重复N次；

步骤5 返回所求结果。

3．3 多目标算法求解模型

针对多目标煤炭机会约束模型，本文采用3种进化算法求解，在求解模型上NSGA Ⅱ算法在收敛性和多样性上更具有优势，下面给出NSGA Ⅱ算法求解模型的基本步骤。

步骤1 设置初始参数，包括模型参数即模型（10）中所涉及的相关参数和算法参数，即种群数量p、最大迭代次数、交叉概率、变异概率；

步骤2 初始化种群，输入煤炭产量和环境投资；

步骤3 计算经济效益和环境效益的目标函数值；

步骤4 使用快速非支配排序对当前种群进行分层处理，并将第一层的个体作为分配解集保存；

步骤5 复制种群合并新旧种群，进行交叉变异操作；

步骤6 对种群个体进行快速非支配排序；

步骤7 通过拥挤度排序策略最终得到p个个体；

步骤8 判断算法是否满足最终迭代条件，满足则输出解集，否则继续执行步骤4；

步骤9 输出最优解集，从而得到煤炭机会约束模型的结果。

4 实验

4．1 参数设置

通过多目标算法求解多目标煤炭机会约束模型的过程中，先初始化模型及算法的参数。对于煤炭价格和污染气体等变量使用随机模拟方法实现约束。分析多目标煤炭机会约束模型可知，经济效益目标求最大值，污染排放求最小值。为了便于求解，将经济效益这个目标处理为最小值的形式。从而，煤炭模型中经济效益和环境效益这2个目标函数可以选择函数值最小的个体作为最优解。随着算法迭代进化直到满足终止条件，输出煤炭机会约束模型的解。随机期望值多目标的煤炭模型主要参数设置如下：年数T＝5，煤炭资源的工序数N＝4，环境污染主要考虑了SO2和矿井水，即L＝2，煤炭的资源储量为3 000万t，回采率为0．45。煤炭价格通过随机模拟对数正态分布代入到模型中，随机模拟是依据概率分布对随机变量进行抽样，从而产生样本。表1给出了算法在求解多目标煤炭机会约束模型的基本参数设置，表2是煤炭资源开发中污染物的排放量Plt，n，j，表3是2016—2020年对污染物排放的利用率 αt，k，l。

表1 参数设置

表2 煤炭资源开发中污染物排放量

表3 污染排放物的利用率

4．2 评价指标

对于多目标煤炭机会约束模型的求解，本文中通过NSGA Ⅱ、SPEA2和AGE Ⅱ这3种进化算法，在64位Windows 7系统Matlab（R2016a）版本上进行编程运算。采用3种不同的进化算法去求解煤炭机会约束模型，从而分析不同多目标算法求模型的优劣。文中所求解多目标煤炭机会约束模型的最优Pareto前沿面是未知的，因此对于常用的性能度量指标不能直接使用。在本次实验中采用质心距离（center cistance，CD）和spacing distance（SP）指标作为评价指标。CD用来衡量算法收敛性，其值越小，算法的收敛性越好；SP衡量算法的分布性，其值越小，算法的分布性越好。

4．2．1 质心距离（CD）

考虑到模型中2个目标函数都是最小值为最优解，因此可以认为Pareto解集的理想点为原点，文中采用每一代进化得到的Pareto解集构成的曲面图心到原点的1－范式距离（CD值，质心距离）来衡量算法的收敛性，objv是每一代模型的Pareto解集，其表达式为：

4．2．2 Spacing distance（SP）

针对Pareto解集不仅需要考虑收敛性，还要考虑分布性，两者一起衡量。间隔指标是用来衡量Pareto解集分布的均匀性，其中di表示帕累托最优集中第i个点与第（i＋1）个点之间的欧几里德距离，dmean是所有di值的平均值，N是帕累托最优集的总数。SP值越小，其分布性越好，其表达式为：

4．3 实验结果

针对本文提出的多目标煤炭机会约束模型，实验通过3种多目标进化算法，对经济效益和环境效益目标函数进行优化。为了能清晰地表示经济效益和环境效益的函数关系，图1给出了NSGA Ⅱ算法中随着迭代次数经济效益与环境效益的函数关系曲线。图2表示了NSGA Ⅱ、SPEA2和AGE Ⅱ等3种进化算法在求解煤炭机会约束模型上收敛性的比较，图3是NSGA Ⅱ、SPEA2和AGE Ⅱ这3种进化算法在求解煤炭机会约束模型上分布性的比较。

图1 经济效益与环境效益的函数关系曲线

图1 是NSGA Ⅱ算法对模型的求解结果。从图1中可以看到，随着迭代次数的变化，煤炭的经济效益与环境效益基本是一直基本保持上升的状态。随着时间的变化，经济效益在增加，煤炭的环境污染排放也随之增加。

为了进一步对比不同算法对于求解多目标煤炭机会模型的性能，图2描绘了3种算法在收敛性的比较，质心距离的值越小，则表示算法的收敛性越好。从图2中可以看出，在算法进化的整个阶段，NSGA Ⅱ算法的质心距离值比其他2种算法的质心距离值都小，它的解集比较接近理想解，表现出明显的优势。AGE Ⅱ算法在模型上的收敛性并不是很好，它的质心距离值一直略高于其他2种算法。SPEA2算法的质心距离值比AGE Ⅱ算法的值要小，但是略差于NSGA Ⅱ算法。表4给出了3种算法求解过程中CD值的均值，从表4可知，NSGA Ⅱ算法的CD值最小，收敛性的均值性能比SPEA2和AGE Ⅱ算法分别提高3．5%和31．78%。

图2 算法质心距离随进化代数的变化

表4 各算法的CD值

衡量算法性能的另一个指标是分布性，通过不同算法对于求解多目标煤炭机会模型的分布性进行分析和比较。图3表示了3种算法在分布性的比较，SP的值越小，则说明解集的分布性越好。

图3 算法间隔距离随进化代数的变化

从图3中可以看出，在算法的进化过程中，AGE Ⅱ算法在模型上的分布性并不是很好，它的值一直略高于其他2种算法，SPEA2算法的波动性比较大，基本比AGE Ⅱ算法效果好，差于NSGA Ⅱ算法，而NSGA Ⅱ算法的SP值一直较小，说明其解集分布性较好，与其他的2种算法相比，表现出明显的优势。表5给出了3种算法求解过程中SP值的均值，从表5中可知，NSGA Ⅱ算法的SP值最小，分布性的均值性能比SPEA2和AGE Ⅱ算法分别提高17 82%和130．69%。

表5 各算法的SP值

5 结论

针对煤炭开采过程中经济效益和环境效益问题，考虑到环境污染物的排放及煤炭价格的波动性等不确定性变量的存在，建立了多目标煤炭机会约束模型。在实验部分，通过3种多目标进化算法求解煤炭机会约束模型，根据评价指标对实验结果进行分析。最后，实验仿真结果表明，相比较其他2种算法，NSGA Ⅱ算法在求解多目标煤炭机会约束模型方面具有更好的收敛性和多样性，其收敛性提高3 5%和31．78%，分布性提高17．82%和130．69%。