一类3阶非线性时滞微分方程振动解的存在性

赵玉萍，傅 华

（1．青海民族大学 数学与统计学院，西宁 810007；2．福建警察学院，福州 350007）

微分方程在生物药学、经济学、计算数学、物理学等领域应用非常广泛。微分方程的研究越来越受到人们的关注。近年来，关于微分方程振动性的研究成果很丰富［1－5］，对于1阶、2阶微分方程振动解的存在性研究也不少［6－9］，但对于3阶非线性时滞微分方程振动解的存在性、渐进性研究较少［10］。BACULIK OVAA B等［1］只研究了3阶非线性微分方程解振动的充分条件，并没有考虑解的存在性问题。

利用分析法和Schauder Tychonoff不动点定理研究一类3阶非线性时滞微分方程

振动解的存在性。同时，研究了式（2）的特殊形式

振动解的存在性。这里r（t）∈C1（［t0，＋∞），R＋），q（t），g（t）∈C（［t0，＋∞），R），f（t）∈C（［t0，＋∞），是奇正整数之商，α≥1。

1 主要结果

定理 设存在常数η＞0，当r（t）＞η时，

证明 利用Schauder Tychonoff不动点定理进行证明。由式（4）和（5），对任意r＞0，-Tr＞t0，当t＞Tr时

设C［T0，∞］是区间［T0，∞］的紧子空间上具有拓扑一致收敛的所有连续函数组成的局部凸空间。这里，T0＝inft≥t0g（t）。

显然对 x∈S，（Fx）（t）在［T0，∞］连续。由式（8）和（9）

所以F在S上连续。当t2，t1≥T0时，

另外，由式（6）和（7）

下面讨论式（3）解的存在性：

证明 （u）＝uα，由式（4）和式（5），对任意r＞0，-Tr＞t0，当t＞Tr时

定义算子

例1 考虑3阶微分

这里，

例2 考虑3阶微分