灾害事件中三支决策的鲁棒选址优化研究

贾 哲，赵敬华，纪 颖

（1 上海理工大学 管理学院，上海 200093；2 上海大学 管理学院，上海 200444）

0 引 言

新冠疫情的爆发对人民的生命安全造成了极大的威胁，防疫物资需要在灾害发生后立即发放。临时转运中心可以短期内将紧急救援物资存储、分类、整合和分发到灾害需求场所。因此，转运中心的选址问题成为灾害救援的一个重要研究方向。

在选址决策中，传统的网络模型考虑了定量因素，旨在最小化成本或者最大化覆盖范围。但非量化标准，如交通状况、劳动力可用性、地理特征等因素，在决定位置时也很重要。此外，Montibeller 和Yoshizaki 指出无形因素可以改变数学模型产生的网络配置［1］。针对灾害事件中决策情况的复杂性、不确定性、环境混乱以及信息时间有限性等特点，虽然选址优化方法可以评估定量因素，但这种对定性因素的评估往往伴随着模糊性和不明确性［2］。在此情况下，决策者在应对紧急情况时，必须做出无数的反应性操作决策，来解决几乎没有信息的复杂困境。

模糊多属性决策方法，以其在评价不精确属性方面的实用性而著称，其利用模糊集理论来处理决策中的模糊性和不精确性。如：文献［3］中提出一种直觉模糊多属性决策的威胁评估方法，为防空目标威胁进行排序；文献［4］针对投资决策中模糊偏好信息，对决策方案排序，解决投资决策中的冲突问题，形成偏好一致的决策方案；文献［5］构建AHP－模糊TOPSIS模型，对电子商务环境的仓储应急管理能力进行综合评价；文献［6］对城市办事服务的便捷度评价，建立指标评价体系，采用熵权TOPSIS法进行评价研究；文献［7］为克服指标难定量问题，提出三参数区间灰数，对物流供应商评价等。在此基础上，本文弥补了多属性决策的二选一决策结果，为转运中心进行排序与分类。

三支决策的出现，为设施中心提供了一种三等分行动框架，同时也为政府提供客观优选目标。对三支决策的研究中，文献［8］提出模糊三支算子及逆算子处理模糊环境难题；文献［9］在模糊形式下，结合模糊集合理论，将对象与属性的关系用隶属度表示，解释模糊三支概念在实际生活中的应用；文献［10］为了适应复杂动态任务环境的问题，提出了基于VIKOR 和三支决策的多目标威胁评估方法。

因人道主义救援守则规定，必须将减轻人类痛苦放在首位，所以本文的首要目标是最大限度地减少未满足需求差的值，这与Lin 等［11］最小化成本研究相反。Rennemo 等［12］最大化效用，考虑一个灾难响应的三阶段混合整数随机规划，但也只使用了基于选址优化的纯定量方法。本文使用鲁棒优化与三支决策方法，解决设施选址问题。对鲁棒优化的研究中，文献［13］提出了一个线性优化模型来构造所有属于凸集数据的可行解。但此模型为了保证鲁棒性，放弃了太多标称问题的最优性，产生的解太过保守。文献［14］Tal 考虑具有椭球形式数据不确定性，求解以锥二次问题形式出现的标称问题的鲁棒对应。这种方法的缺点是产生的模型尽管是凸的但却是非线性的，在计算方面有更高的要求。

典型的选址问题包括：确定开放设施的数量、空间位置和需求分配。然而在灾害救援期间，建设转运中心还需要确定材料有限时，设施建立的顺序。因为材料需要具备可组装性、可拆卸性、可移动性、阻燃性、防水性、防腐性和防紫外线等特点，而很多发展中国家材料数量有限。如2015 年尼泊尔地震救援初期，由于可用移动材料有限，导致救援物资堆积在机场，有效建立转运中心面临困难［15］。

针对上述情况，本文提出的多面体集鲁棒优化是一种具有线性结构且易于控制不确定度的鲁棒构架，同时降低了保守度。为了响应受灾地区紧急需求，并使稀缺材料能够得到有效利用，本文提出了三支决策中的接受正区域、拒绝否定区域和不承诺边界理念，将每个备选设施进行排序并分类为：优先建设类别、非优先建设类别、是否优先建设类别。实验结果表明，优化的稳定性有了较大提高，可以处理不确定需求，并自动为政府提供优选方案。

1 鲁棒优化模型

在选址优化中，考虑灾害需求的不确定性，采用鲁棒优化，以未满足需求最小化为目标，同时均衡考虑分配设施数量约束和最大容量约束，确定应急临时中心的位置和临时中心与需求点之间网络配置的拓扑结构。

1.1 不确定集合

不确定集合的大小与含有不确定系数约束成立的概率有密切关系。模型中约束条件不成立的概率越小，鲁棒性越好。研究鲁棒问题，首先需考虑一般线性规划问题：maxcTxs.t.Ax≤b，l≤x≤u。

假设系数矩阵A的第i行元素仅不确定，令表示系数的实际值，分别表示参数名义值和波动，ξij为不确定因素，属于一个不确定集E，并且可以取集合中的任意值。因此，约束可以重新表示为：

多面体集不确定集合是根据1 范数（l1）定义的：EP＝E1＝｛ξ：‖ξ‖1≤Γ｝＝｛ξ：

其中，Γi为可调整的不确定水平参数，表示不确定集合的不确定水平，代表优化模型的风险偏好程度。

基于上述条件，建立应急物资需求不确定性的鲁棒线性整数优化模型前，给出基于确定性需求整数规划模型。

1.2 定义符号与变量

假设：需求点位置已知；所有候选应急临时中心的位置已知，且有容量限制；供应仓库必须将救援物资运输至临时物流中心，而不是直接运输到需求点。

符号定义如下：

I：灾害需求点集合，i∈｛1，2，…，m｝

J：候选临时物流中心集合，j∈｛1，2，…，n｝

K：候选供应仓库集合，k∈｛1，2，…，h｝

M：一个很大的数

di：需求点i的需求

p：临时物流中心总数量

ti：分配给需求点i的临时中心数量

qji：从临时中心j运输至需求点i的量

rkj：从供应仓库k运输至临时中心j的数量

Qsk：供应仓库k可提供的最大数量

Qhj：临时中心j可提供的最大数量

变量参数设定：

1.3 确定性优化模型

在大型灾害事件发生之后，应急部门会对受灾地区进行初步规划，确定候选设施的集合。本文的目标是最大限度地减少未满足需求差的值，约束保证候选设施的容量限制能力，其模型如下：

1.4 多面体集鲁棒模型

在实际疫情中，各救助点的需求无法准确获取，在此假设需求点的需求为随机变量，为扰动量）。根据定义可得不确定集合：

根据定理1 可获得鲁棒模型。

定理1：

由此可得：当数据不确定时，且不确定需求集合为多面体集，可得鲁棒配置模型。

其中，Γu为目标函数不确定需求水平参数；为约束中不确定需求的参数；θu，分别为其对应的对偶变量。

2 直觉模糊多属性与三支决策

专家根据所选评估的属性，对临时中心进行评估。首先给出直觉模糊集的概念、性质以及直觉模糊Topsis 法的步骤，然后计算每个备选中心的条件概率进行排序；根据对每个设施的属性整体进行评估，对每个属性进行构造目标损失函数；最后通过聚合多属性损失函数得到决策阈值，对选中设施进行分类。

2.1 基本概念与性质

直觉模糊集定义1：

2.2 直觉模糊Topsis 法

基于理想解的直觉模糊多属性决策，是通过将集中备选方案与理想解的距离进行比较，对集中备选方案按优劣顺序进行排定的决策方法。

假设评估方案集T＝｛T1，T2，…，Tu｝ 由u个评估对象组成，评价每个方案的属性集A＝｛A1，A2，…，Av｝ 由v个属性组成。

w＝（w1，w2，…，wv）为属性的权重向量，属性的权重之和为1。评估矩阵可以表示为Z＝（zxy）uv，x∈｛1，2，…，u｝，y∈｛1，2，…，v｝。其中，zxy是方案Tx属性Ay的评估值。在本研究中，评估属性值zxy由直觉模糊数表示，即。

基于直觉模糊Topsis 多属性决策方法实现步骤如下：

步骤1确定多属性决策评价集和属性集，获得决策问题中对方案关于属性的直觉模糊数，构建直觉模糊决策矩阵。

在实际复杂的决策问题中，专家给出的评价信息可能是直觉模糊语言评价值或者为区间数，因此需要对区间数决策值进行归一化处理。

步骤2根据文献［3］的方法，确定正理想方案与负理想方案。

步骤3求方案与正、负理想方案的直觉模糊相似度。

方案Tx与正理想方案的相似度计算如下：

方案Tx与负理想方案的相似度计算如下：

步骤4方案排序

D（Tx，Z＋）越大，表明方案Tx与理想方案越接近；D（Tx，Z－）越小，说明方案Tx与负理想解越远。根据Topsis 法计算每个方案的相对贴近度：

2.3 三支决策

三支决策是以决策理论的粗糙集为依据，假设U是一个有限且非空的集合，R⊆U × U是等价关系，U可以被R分开，形式为U／R＝｛［x］｜x∈U｝，且阈值需满足0 ≤β ＜α≤1。因此，集合U可以被阈值分为3 个区域，分别表示为：

Yao［16］深入对阈值和3 个区域的语义做出补充解释，利用最小风险贝叶斯理论提出了由2 个状态和3 个行动组成的决策理论粗糙集。Ω＝｛A，¬ A｝为设施的状态集，对于∀A⊆U，Pr（A ｜［x］）＝｜［x］ ∩A ｜ ／ ｜x ｜，其表示条件概率，是x可能处于状态A的可能性，而相对贴近度表示的是方案Tx处于状态A的可能性。因此，用RC（Tx）来估计设施中心的条件概率Pr（A ｜Tx）。AA＝｛aP，aB，aN｝ 为行动集，其中，aP、aB、aN分别表示x∈POS（A），x∈BND（A）、x∈NEG（A）。不同行动风险的损失函数λ见表1。

表1 损失函数Tab.1 Loss function

根据贝叶斯理论，将3 个区域即三支决策规则和对应阈值表示如下：

如果Pr（A ｜［x］）≥a，x∈POS（A）；

β ＜Pr（A ｜［x］）＜a，x∈BND（A）；

Pr（A ｜［x］）≤β，x∈NEG（A）；

则阈值定义为：

决策阈值是通过专家对设施的属性评估计算的，其步骤如下：

（1）对每个评估属性构造损失函数矩阵。本文评价属性是用直觉模糊数zxy＝（UA，VA）表示。Jia等人［17］指出需为每个属性确定最大值与最小值，效益型属性形式为：zmax＝（1，0）、zmin＝（0，1），成本型属性形式为zmax＝（0，1）、zmin＝（1，0）。然后构造每个选中设施中每个属性的损失函数矩阵如下：

其中，风险规避系数0 ≤σ ＜0.5，突发灾害事件下收集的信息越多σ越大。为了方便计算，在不同的属性评估下，σ取值相同。分别表示第y个属性最大和最小评估值。

（2）综合多属性损失函数，将第x个设施的多个属性聚集，得到损失函数矩阵为：

（3）计算决策阈值。对综合的损失函数矩阵，可以获得每个设施中心的决策阈值，表示为：

依据阈值可以得出三支决策规则：

如果Pr（A ｜Tx）≥ax，Tx∈POS（A），说明设施中心首先需要进行建设；如果βx ＜Pr（A ｜Tx）＜ax、Tx∈BND（A），表明设施中心为第二梯度，需要更多的信息进行建设分析；如果Pr（A ｜Tx）≤βx、Tx∈NEG（A），意味着设施作为第三梯度，无需先进行建设。

3 算例分析

为了验证所构建模型及决策的可行性，本文通过新冠疫情数据进行优化与决策分析，确定最优选址方案和评估顺序方案，确定建立的应急临时中心点选址布局的拓扑结构。

3.1 参数设置

以2020 年湖北武汉新冠疫情救援为例，截止2020 年11 月，在该疫情中全国已有92 476人感染新冠病毒，导致多人死亡，给国家和人民带来了巨大灾难。其中湖北武汉的灾害最为严重，灾害期间的救助意义非凡。为了协调防护物资的高效便捷快速发放，以医院作为需求点（武汉市的16 个大型医院），而临时中心的位置需要交通顺畅，靠近需求医院。根据条件，筛选了8 个符合条件的设施中心，仓库需要能够大量存储救助物资，采用租赁3 个物流园区作为供应点。供应点、备选设施中心、需求点的地理位置关系及序号如图1 所示。

图1 需求点与备选点地理位置示意图Fig.1 Geographic location diagram of demand points and alternative points

根据各医院的救助数量、疫情严重程度，并结合各医院请求的数据，预估各医院的名义需求数量，即确定性模型数量d，16 个医院需求点需求di。

8 个备选临时中心的服务能力Qhj和3 个候选供应仓库的服务能力Qsk见表2。运用CPLEX 编程分支－切割算法，求解确定性模型与多面体不确定需求集的鲁棒模型，具体结果见表2。

表2 模型数据Tab.2 Model data

3.2 结果分析

通过CPLEX 对优化模型求解，确定性模型最优解见表3。在受到扰动时显得无能为力，其优化解也往往偏离实际情况，对模型的质量和可行性有着巨大影响，不能满足优化过程中所面临的风险和不确定性环境。

表3 确定性优化方案Tab.3 Deterministic optimization scheme

多面体集鲁棒优化解随着不确定水平参数Γu的变化，建立的临时中心见表4。随着Γu的增加，需求差发生明显的变化，且开放的临时中心数目也有增加。当3＞Γu≥0 时，模型的需求差为0，所选的临时中心可以满足需求点需求；当Γu ＞3 时，虽然需求差值为0，但还需要增加临时中心数量来满足需求波动；当不确定水平大于5 时，需求差值显著增加，说明不确定程度越大，医院的需求越难以满足，扰动比例越小，模型的鲁棒性越强。

表4 多面体集的最优方案Tab.4 The optimal scheme for polyhedron set

本文对Γu＝8 时的方案进行评估，对优化的备选方案进行排序。通过救灾文献调查以及专家讨论，确定了土地可用性、货车可达性、飞机可达性、安全性、基础设施供应性、劳动力供应性、位置可选性、感染数量等8 个属性。依据文献［16］的研究，将专家的原始直觉模糊语言评价值转化为直觉模糊数，将数量区间值标准化，再将标准化的区间值转化为直觉模糊数，得到直觉模糊决策矩阵。可从决策规则和表5 中进一步获得三支决策分类结果。

表5 σ＝0.4 的条件概率和决策阈值Tab.5 Conditional probabilities and decision thresholds σ＝0.4

分类结果POS（A）＝｛T3，T1，T2｝，BND（A）＝｛T6｝，NEG（A）＝｛T8，T7｝。结果表明，应该首先建设转运中心T3，T1，T2；需要更多的信息对T6进行是否首先建设分析；T8，T7设施作为第三梯度，无需先进行建设。优化的设施中心－分配服务网络的拓扑结构如图2 所示。

图2 Γ＝8 时选址－分配网络的拓扑结构Fig.2 Location－distribution network topolog when Γ＝8

本文对文献［11］ 中直觉模糊信息下基于VIKOR 的目标评估方法做了对比分析。以设施选址评估为例，验证本文的有效性。两种目标评估方法在相应参数设置下的评估结果如图3 所示。

图3 评估结果Fig.3 Evaluation results

可以看出，本文评估得到的目标排序结果与VIKOR 算法得到的排序结果完全一致，在不同决策机制系数下的一致性较好。T1、T2、T3都是紧急的方案，说明本文方法的合理性，但VIKOR 算法无法自动给出目标的客观分类结果。本文在得到目标排序的基础上，可以进一步得到客观的分类结果，无需主观划分等级和人为选择优先方案数量，更加适应于复杂多变的灾害疫情态势。

4 结束语

本文为应急设施选址的决策提供了鲁棒优化模型和求解方法，相比于确定性模型，鲁棒模型符合实际，可以满足不确定性，优化最差情形的解。本文首先以总需求差最小化为目标，均衡多重约束条件建立鲁棒整数规划模型后，运用直觉模糊Topsis 法对设施中心进行评价，并利用三支决策对设施中心进行分类；最后以武汉临时转运中心选址为例，对不同的安全参数进行灵敏度分析，分别获得设施选址集，给出应急设施－分配的拓扑结构。验证了鲁棒优化和三支决策的可行性，突出三支决策的优势，为决策者提供不同风险偏好的优先方案。